ЕГЭ: математика (профиль)

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Зачем нужен чертёж, если ответ короткий

В проекте ФИПИ ЕГЭ-2027 эта позиция проверяет планиметрию: увидеть нужную фигуру и связать углы, стороны или площади. Название теоремы само по себе не даёт ответа. Сначала отметь, что дано, и назови отрезок или угол, который действительно требуется найти.

Метод

1. Раздели данные и впечатление от рисунка. Неназванный прямой угол или равенство сторон нельзя получать измерением на экране.
2. Найди опорную связь: сумма углов треугольника; вписанный угол и дуга; перпендикулярность касательной радиусу; подобие; теорема Пифагора.
3. Если в равнобедренном треугольнике известны основание и боковая сторона, высота к основанию одновременно является медианой. Получаются два прямоугольных треугольника.
4. Для площади используй высоту именно к выбранному основанию. Для тригонометрии сначала назови гипотенузу и противолежащий катет относительно нужного угла.

Разобранный пример

В равнобедренном треугольнике основание равно 16, боковая сторона — 17. Найдём площадь. Высота делит основание на отрезки по 8. По теореме Пифагора h² = 17² − 8² = 225, поэтому h = 15. Тогда S = 16·15/2 = 120.

Здесь нельзя подставить 17 вместо высоты: боковая сторона наклонена к основанию. Обратная проверка: площадь двух прямоугольных половин равна 2·(8·15/2) = 120.

Ловушка

Вписанный угол равен половине соответствующей дуги, а центральный — всей дуге. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия; отношение сторон — первой степени. Не переноси одно отношение на другое.

Самопроверка

Основание равнобедренного треугольника равно 10, боковая сторона — 13. Найди высоту к основанию и площадь. Каким свойством обосновано деление основания пополам?

Ответ: высота 12, площадь 60. Высота из вершины равнобедренного треугольника к основанию является медианой. Если потерял множитель 1/2, проверь площадь через две половины.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Вектор задаёт направление и смещение

Вектор AB находят как координаты B минус координаты A. Это упорядоченное действие: BA = −AB. Координаты точки и координаты вектора — разные объекты, хотя записываются похожим образом.

Метод

• Сложение и умножение вектора на число выполняй покоординатно.
• Квадрат длины (x; y; z) равен x²+y²+z²; сама длина неотрицательна.
• Скалярное произведение a·b равно сумме произведений соответствующих координат. Это число, а не вектор.
• Для ненулевых векторов cos φ = (a·b)/(|a||b|). Нулевое произведение ненулевых векторов означает перпендикулярность. Отрицательное произведение соответствует тупому углу.

Разобранный пример

Пусть A(1; −2), B(4; 2), C(−1; 3), D(3; 0). Тогда AB = (3; 4), CD = (4; −3). Их произведение равно 3·4 + 4·(−3) = 0, значит векторы перпендикулярны. Длины обоих равны 5; проверка через косинус даёт 0/(5·5) = 0.

Если вместо AB взять BA, получится (−3; −4). Произведение с CD всё ещё нулевое, но в общем случае смена направления меняет знак произведения и косинуса.

Ловушка

Нельзя складывать квадраты координат и выдавать это за длину: для (3; 4) получится 25 вместо 5. Нельзя находить косинус, деля произведение на сумму длин. Если один вектор нулевой, угол между векторами не определён.

Самопроверка

Даны a = (2; −1; 2), b = (1; 2; 2). Найди a·b, длину a и первую координату 3a−2b.

Ответ: 4; 3; 4. Для проверки координаты выпиши отдельно 3·2−2·1. Трёхмерная запись не меняет покоординатный принцип.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Сначала представь тело и искомую величину

В стереометрическом коротком задании важно различать объём, площадь боковой поверхности и площадь всей поверхности. Одинаковые размеры тела не означают одинаковую формулу для этих трёх вопросов.

Метод

Для призмы V = S осн·h, для пирамиды V = S осн·h/3. У цилиндра V = πR²h, S бок = 2πRh. У конуса V = πR²h/3, S бок = πRl, где l — образующая, а не высота. Полная поверхность конуса дополнительно содержит площадь основания πR². У шара V = 4πR³/3, S = 4πR².

Если тела подобны с коэффициентом k, площади относятся как k², объёмы — как k³. Сечение, параллельное основанию конуса или пирамиды, выделяет подобное малое тело: коэффициент удобно находить по высотам от вершины.

Разобранный пример

Конус имеет радиус 3 и высоту 4. Образующая l = √(3²+4²) = 5. Боковая поверхность равна 15π, полная — 15π+9π = 24π. Если спрашивают S/π, в ответ идёт 24, а не 24π.

Отсекающее сечение проходит параллельно основанию на половине высоты от вершины. Малый конус имеет коэффициент подобия 1/2, значит его объём составляет (1/2)³ = 1/8 объёма исходного. Оставшаяся часть — 7/8, не 1/2.

Ловушка

Диаметр нужно поделить на 2 перед подстановкой в R². Высоту нельзя заменять наклонным ребром или образующей. Если задача просит отношение, общий множитель π обычно сокращается: не приближай его десятичным числом заранее.

Самопроверка

Радиус цилиндра увеличили вдвое, высоту уменьшили вчетверо. Во сколько раз изменился объём? А если все линейные размеры тела увеличили втрое, во сколько раз выросла площадь?

Ответ: объём цилиндра не изменился: 2²·1/4 = 1. Площадь подобного тела выросла в 9 раз. Это разные преобразования: в первом случае тело не масштабируется равномерно.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Уточни пространство равновозможных исходов

В простой вероятности главная работа — верно определить, что выбирают случайно. При равновозможных исходах P(A) = число благоприятных исходов / число всех исходов. В знаменателе должны быть исходы именно описанного опыта.

Метод

1. Назови событие словами: «билет нужной темы», «исправный прибор», «выпало ровно два орла».
2. Проверь равновозможность. Если порядок выступлений определяется честной жеребьёвкой, у каждого участника одинаковый шанс занять указанное место.
3. Для события «не A» часто проще использовать 1−P(A).
4. Для нескольких бросков перечисляй последовательности, а не только возможное число успехов. При двух бросках монеты исходы ОО, ОР, РО, РР равновозможны, а числа орлов 0, 1, 2 — нет.

Разобранный пример

В коробке 40 ламп, 6 неисправны. Случайно выбирают одну. Вероятность исправной лампы равна (40−6)/40 = 34/40 = 0,85. Число 0,15 отвечает на другой вопрос — о неисправной лампе.

При двух бросках честной монеты ровно один орёл получается в ОР и РО: два исхода из четырёх, вероятность 0,5. Вероятность хотя бы одного орла равна 3/4 = 0,75: сюда дополнительно входит ОО.

Ловушка

«Ровно», «хотя бы» и «не больше» задают разные события. Вероятность всегда лежит от 0 до 1, но попадание в этот диапазон ещё не доказывает правильность модели. Проценты перед записью десятичной вероятности делят на 100.

Самопроверка

На соревновании 25 участников, 7 из одной команды. Порядок определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что третьим выступит участник этой команды? Нужно ли учитывать, кто уже был первым и вторым, если их имена не известны?

Ответ: 7/25 = 0,28. По симметрии каждое место принадлежит любому участнику с одинаковой вероятностью; неизвестные первые два места не меняют ответ.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Разные связи событий требуют разных действий

Произведение вероятностей относится к независимым этапам либо к условным вероятностям последовательного пути. Сумма относится к несовместным вариантам. Слова «и» или «или» сами по себе ещё не разрешают механически умножать или складывать числа.

Метод

• Для независимых A и B: P(A∩B)=P(A)P(B).
• «Хотя бы один» удобно считать через противоположное «ни одного».
• «Ровно один» из двух: p(1−q)+(1−p)q.
• При выборе без возвращения после первого извлечения меняются состав и общее число предметов.
• Если партия складывается из разных источников, сначала складывают вероятности несовместных путей. Когда известно, что событие уже произошло, условную вероятность делят на вероятность именно этого условия.

Разобранный пример

Завод A поставляет 40% приборов, B — 60%. Вероятности исправности равны 0,9 и 0,6. Вероятность исправного прибора из общей партии: 0,4·0,9+0,6·0,6 = 0,72.

Выбранный прибор оказался исправным. Вероятность, что он с A, равна (0,4·0,9)/0,72 = 0,5. В знаменателе теперь не вся поставка, а событие «исправен». Ответ 0,4 игнорировал бы новую информацию.

Ловушка

Независимость нельзя переносить на выбор без возвращения. Для двух красных из коробки с 4 красными и 6 другими вероятность равна (4/10)·(3/9), а не (4/10)². Несовместные события обычно не независимы: наступление одного исключает другое.

Самопроверка

Два стрелка независимо попадают с вероятностями 0,8 и 0,7. Найди вероятность хотя бы одного попадания и вероятность ровно одного попадания.

Ответ: 1−0,2·0,3 = 0,94; 0,8·0,3+0,2·0,7 = 0,38. Событие «оба попали» входит в первое, но не во второе.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Математическое ожидание — среднее с учётом вероятностей

В проекте ФИПИ ЕГЭ-2027 случайные величины выделены в новую позицию 6. Математическое ожидание не обязано быть одним из возможных значений и не обещает результат одной попытки. Оно описывает взвешенное среднее распределения.

Метод

Для конечного распределения M(X)=Σxᵢpᵢ. До вычисления проверь: все вероятности неотрицательны и их сумма равна 1. Если одна вероятность скрыта, сначала восстанови её.

Для числа успехов в n одинаковых независимых испытаниях M(X)=np. Это также следует из сложения ожиданий индикаторов успеха. Линейность M(aX+bY+c)=aM(X)+bM(Y)+c не требует независимости X и Y. Не переноси это правило на произведение XY.

Разобранный пример

Выплата X принимает значения 0; 50; 200 рублей с вероятностями 0,5;0,3;0,2. Тогда M(X)=0·0,5+50·0,3+200·0,2 = 55 рублей. Участие стоит 40 рублей. Чистый выигрыш Y=X−40, поэтому M(Y)=55−40 = 15 рублей.

Не нужно вычитать стоимость отдельно из каждого взвешенного слагаемого и ещё раз из итога. Можно сразу считать (0−40)·0,5+(50−40)·0,3+(200−40)·0,2 — получится то же 15.

Ловушка

Обычное среднее (0+50+200)/3 неверно: значения имеют разные вероятности. Наиболее вероятное значение здесь 0, но ожидание 55. Для количества предметов дробное ожидание допустимо: среднее не является требованием получить дробь предмета в отдельном опыте.

Самопроверка

X принимает значения −2; 3; 8 с вероятностями 0,2;0,5;p. Найди p, M(X) и M(2X−1).

Ответ: p=0,3; M(X)=−0,4+1,5+2,4=3,5; M(2X−1)=6. Сначала восстанови вероятность, затем применяй взвешенное среднее.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Простейшее уравнение: сначала тип и область допустимых значений

Короткий ответ не отменяет проверки корня. Выбор действия зависит от структуры: линейное выражение, дробь, квадрат, корень, показатель или логарифм. Эквивалентное преобразование сохраняет множество решений; возведение в квадрат может добавить посторонние значения.

Метод

Для линейного уравнения собери слагаемые с x. У дробного сначала исключи нули знаменателей. В показательном старайся привести обе части к одному положительному основанию, отличному от 1. Для logₐu=b используй u=aᵇ при u>0, a>0, a≠1. В уравнении с квадратным корнем отдельно учти знак правой части.

Разобранный пример

Решим √(2x+3)=x. Правая часть должна быть неотрицательна, поэтому x≥0. После возведения в квадрат: x²−2x−3=0, кандидаты 3 и−1. Значение−1 нарушает ограничение; остаётся 3. Подстановка в исходное уравнение: √9=3.

Проверка важна именно в исходном уравнении: число−1 удовлетворяет полученному квадратному, но не √(2x+3)=x. Запись двух кандидатов без отбора ещё не является ответом.

Ловушка

Из (x−2)(x+5)=0 нельзя делить на x−2: потеряется корень 2. В log₂(x−1)=3 сначала x>1, затем x−1=8 и x=9. Разность логарифмов сворачивается в логарифм частного, а не разности.

Самопроверка

Реши 3^(2x−1)=27 и log₃(x+2)=2. Для второго уравнения назови ОДЗ и проверь найденное значение.

Ответ: x=2; x=7, ОДЗ x>−2. Для показательного уравнения 27=3³, поэтому 2x−1=3. Для логарифмического x+2=9.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Преобразование должно сохранять значение и смысл выражения

Степени, корни, логарифмы и тригонометрические выражения упрощают по свойствам, а не по внешнему сходству знаков. Перед сокращением проверь допустимость деления и область определения.

Метод

aᵐaⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ при a≠0. Корень чётной степени неотрицателен: √(x²)=|x|, а не всегда x. Для положительных аргументов logₐu+logₐv=logₐ(uv). У логарифма основания должны удовлетворять a>0,a≠1.

Для тригонометрии держи базу: sin²t+cos²t=1, sin2t=2sintcost. Знак синуса и косинуса определяется четвертью. Если из sin²t найден cos²t, знак cos t ещё не установлен.

Разобранный пример

Пусть sin t=3/5 и t лежит во II четверти. Тогда cos²t=1−9/25=16/25. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому cos t=−4/5. Получаем sin2t=2·(3/5)·(−4/5)=−24/25, или−0,96.

Проверка знака: угол 2t лежит между π и 2π, где синус отрицателен. Если бы автоматически выбрали положительный корень, знак ответа оказался бы неверным.

Ловушка

Степень распределяется по произведению, но не по сумме: (a+b)²=a²+2ab+b². Запись a^m/a^n·a^k требует правильного порядка действий; если всё произведение находится в знаменателе, нужны скобки. При отрицательном основании отдельно следи за чётностью целой степени.

Самопроверка

Вычисли 2⁷·2³/2⁸ и log₅25+log₅5. Чему равно √((−6)²)?

Ответ: 4;3;6. В первом выражении показатель 7+3−8=2. Во втором можно вычислить 2+1 или объединить аргументы в 125. Корень даёт модуль−6.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Производная — скорость изменения, а не высота графика

У f(x), f′(x) и касательной разные роли. На графике функции значение f(x₀) — высота точки, а f′(x₀) — угловой коэффициент касательной. На графике производной положительная высота означает возрастание исходной функции.

Метод

Для многочлена дифференцируй каждое слагаемое: (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹, производная постоянной равна 0. Наклон прямой через две её точки равен Δy/Δx; порядок вычитания координат в числителе и знаменателе должен совпадать.

По графику f′ ищи смену знака: плюс→минус даёт локальный максимум f, минус→плюс — минимум. Само равенство f′=0 ещё не доказывает экстремума. Если спрашивают количество целых x с f′(x)>0, нули графика не включаются, а границы заданного отрезка проверяются отдельно.

Разобранный пример

f(x)=x³−3x²+2. Тогда f′(x)=3x²−6x=3x(x−2). Знаки производной: плюс при x<0, минус при 0<x<2, плюс при x>2. Следовательно, x=0 — точка локального максимума, x=2 — минимума. Их значения: f(0)=2, f(2)=−2.

Если вопрос просит абсциссу минимума, ответ 2, а не−2. Если спрашивают f′(1), получается −3, хотя f(1)=0.

Ловушка

Вершина графика производной обычно не является экстремумом исходной функции. Возрастание определяет знак f′, а не направление движения самого графика f′. При чтении касательной бери две удобные точки на касательной, а не две любые точки кривой.

Самопроверка

Касательная проходит через A(−2;5), B(2;−1). Найди производную в точке касания. Если f′ меняет минус на плюс при x=3, какой экстремум имеет f?

Ответ: (−1−5)/(2−(−2))=−1,5; минимум при x=3. Координаты точки касания для вычисления наклона не требуются.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Формула — модель с определёнными переменными и единицами

В прикладном задании формула может быть уже дана. Тогда проверяется её чтение: какая величина неизвестна, что обозначают буквы, в каких единицах заданы числа и как связаны прямой и обратный расчёт.

Метод

Сначала выпиши единицы и ограничения. Если нужен параметр в знаменателе или под корнем, вырази его алгебраически до подстановки громоздких чисел. Сохраняй скобки у суммы и степень у всей величины. Переход от площади к длине или от энергии к скорости требует корня, а не деления на 2.

Разобранный пример

Кинетическая энергия задаётся E=mv²/2. При массе 200 кг энергия равна 10000 Дж. Найдём положительную скорость: v²=2E/m=20000/200=100, поэтому v=10 м/с.

Скорость не может быть−10 в этом физическом вопросе: речь о модуле скорости. Проверка возвращением в формулу: 200·10²/2=10000. Число 100 — квадрат скорости, а не искомая скорость.

Другой тип чтения: если расходы C(v)=av+b/v при v>0, удвоение v меняет первое слагаемое вдвое, второе — вдвое в обратную сторону. Масштабировать всю сумму одним множителем нельзя.

Ловушка

Числа в км/ч и м/с не взаимозаменяемы: 36 км/ч=10 м/с. Формула может работать только в указанных единицах. Округление промежуточного результата иногда меняет конечный ответ; если возможна точная дробь, сохрани её до конца.

Самопроверка

Площадь трапеции S=(a+b)h/2 равна 84, основания 6 и 8. Найди высоту. Как проверить результат без нового преобразования формулы?

Ответ: h=2·84/(6+8)=12. Подстановка даёт(6+8)·12/2=84. Сумма оснований 14 целиком находится в знаменателе обратной формулы.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Переведи историю в величины и уравнение

У текстовой задачи сначала появляется модель. Путь равен скорости, умноженной на время; работа — производительности, умноженной на время. В смеси сохраняется количество вещества, а не среднее арифметическое процентов.

Метод

Составь таблицу «скорость/время/путь» или «производительность/время/работа». Если весь объём принят за 1, участник, выполняющий его за t часов, делает 1/t за час. При совместной работе складываются производительности, не времена. По реке скорости равны v+u и v−u, где v — собственная скорость,u — течение; необходимо v>u.

Для равных расстояний средняя скорость не равна обычному среднему скоростей. Сначала найди общее расстояние и время. В смеси складываются массы вещества: c=(m₁c₁+m₂c₂)/(m₁+m₂). Проценты при расчёте массы переводятся в доли.

Разобранный пример

Первый насос заполняет резервуар за 6 часов. Вместе с другим они заполняют его за 2 часа. Общая производительность 1/2, первого 1/6, поэтому второго 1/2−1/6=1/3 резервуара в час. При самостоятельной работе ему нужно 3 часа, а не 1/3 часа.

Проверка: за 2 часа первый выполнит 1/3, второй 2/3; сумма равна 1. Проверено соответствие условию, а не только преобразование дробей.

Ловушка

При одинаковых расстояниях медленный участок занимает больше времени. Усреднять скорости 60 и 90 как 75 км/ч нельзя. Для встречного движения складывают скорости, для попутного удаления обычно берут разность. Если один участник остановился, общий путь нужно разбить на этапы.

Самопроверка

Автомобиль проехал одинаковое расстояние туда со скоростью 60 км/ч, обратно 90 км/ч. Найди среднюю скорость всего пути.

Ответ:72 км/ч. Возьми по 180 км: время 3+2=5 часов, путь 360 км, скорость 360/5=72. Удобный выбор общего расстояния не меняет отношение.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Восстанови функцию по её характерным данным

У графика важны не только форма и название. Нужно понять, какие параметры определяются вершиной, асимптотами или отмеченными точками. Масштаб осей читается до вычислений; координаты нельзя получать приблизительным измерением картинки.

Метод

Для прямой f(x)=kx+b значение b читается при x=0, а k=Δy/Δx. Для параболы a(x−h)²+k вершина имеет координаты(h;k), ещё одна точка определяет a. Для f(x)=a·b^x удобно взять f(0)=a и отношение f(1)/f(0)=b. Для a/(x−h)+k асимптоты имеют уравнения x=h и y=k; по ещё одной точке находят a. Пересечение графиков находят из равенства значений функций.

Разобранный пример

Парабола имеет вершину(2;−3) и проходит через(3;−1). Значит f(x)=a(x−2)²−3. Подстановка второй точки даёт−1=a−3, поэтому a=2. Тогда f(0)=2·(−2)²−3=5.

По симметрии относительно x=2 значение f(4) тоже 5. Это независимая проверка восстановленной формулы. Координата вершины h=2 записана в скобке как x−2; менять знак h ещё раз не нужно.

Ловушка

Абсцисса —x, ордината —y. Асимптота не является частью графика: при x=h выражение a/(x−h)+k не определено. Из вида кривой без дополнительных точных данных нельзя достоверно восстановить произвольную функцию.

Самопроверка

У гиперболы асимптоты x=1,y=−2, она проходит через A(2;4). Найди f(4).

Ответ:a=(4+2)·(2−1)=6, поэтому f(4)=6/(4−1)−2=0. Подстановка A даёт 6/(2−1)−2=4. В запрещённой точке x=1 значение не ищут.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Зафиксируй порядок процентов и платежей

В проекте ФИПИ ЕГЭ-2027 финансовый короткий ответ находится на позиции 13. Процент начисляется на текущую сумму. Порядок «проценты→платёж» и обратный порядок задают разные уравнения.

Метод

Вклад без пополнений с ежегодной капитализацией: Sₙ=S₀(1+r)ⁿ, r=p/100. Для обратной задачи дели конечную сумму на этот множитель. Для кредита после процентов и платежа A: D нов=(1+r)D стар−A.

Равные платежи и равные уменьшения основного долга — разные условия. Во втором случае проценты уменьшаются по мере погашения, а общие платежи неодинаковы. Переплата — сумма всех платежей минус полученный кредит.

Разобранный пример

Кредит 21000 рублей погашают двумя одинаковыми годовыми платежами. Перед каждым долг увеличивается на 10%. После первого долг 23100−A. После второго:1,1(23100−A)−A=0. Значит 25410−2,1A=0 и A=12100 рублей.

Сумма платежей 24200, переплата 3200. Проверка по годам:23100−12100=11000;11000·1,1−12100=0. Эти три числа отвечают на разные вопросы: один платёж, все платежи, переплата.

Ловушка

Нельзя каждый год начислять 10% на первоначальные 21000, если долг уменьшился. Не округляй платёж до решения уравнения, если округление не предусмотрено. Рубли и тысячи рублей меняют записываемое число в 1000 раз.

Самопроверка

Кредит 60000 рублей уменьшают по основному долгу на 20000 в год за три года. Перед платежом начисляют 10% на оставшийся долг. Найди платежи и переплату.

Ответ:26000,24000,22000 рублей; переплата 12000. Проценты начислены на 60000,40000,20000, а основная часть каждого платежа 20000.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Сначала общее решение, затем отбор

В развёрнутом тригонометрическом уравнении нужно получить все семейства решений и обоснованно выбрать корни из заданного промежутка. Угадывание нескольких углов по окружности не доказывает полноту ответа.

Метод

Преобразуй уравнение, не деля без проверки на выражение, которое может быть нулём. Для cos t=c получаются ветви t=±arccos c+2πk. После замены t=ax+b вернись к x во всех ветвях. Для отбора реши неравенства относительно целого k или укажи точный отбор на окружности с полными оборотами. У закрытого отрезка проверь оба конца.

Разобранный пример

Решим cos2x=1/2 на[0;2π]. Сначала 2x=±π/3+2πk, значит x=±π/6+πk,k∈Z.

Для x=π/6+πk отрезок даёт−1/6≤k≤11/6, то есть k=0,1. Для x=−π/6+πk получаем 1/6≤k≤13/6, то есть k=1,2. Ответ отбора: π/6,5π/6,7π/6,11π/6. Концы 0 и 2π не подходят по исходному уравнению.

Для 2cos²t+cos t−1=0 сначала введи z=cos t: (2z−1)(z+1)=0. Оба значения z=1/2 и z=−1 допустимы. Поэтому нужны три серии: t=±π/3+2πk и t=π+2πk. Только после объединения всех серий отбирай корни. Деление на cos t+1 потеряло бы целую серию.

Ловушка

После деления аргумента 2x на 2 период по x стал π. Возведение уравнения в квадрат может добавить корни. Если делишь на cosx, отдельно исследуй cosx=0. Кратный корень, найденный разными ветвями, в перечне различных значений записывается один раз.

Самопроверка

Реши cosx=−1/2 на[0;2π]. Запиши общее решение и результат отбора.

Ответ:x=±2π/3+2πk; на отрезке 2π/3 и 4π/3. Нужно не только предъявить эти числа, но и показать, что остальные целые k дают значения вне отрезка.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Докажи, что выбранный угол или перпендикуляр — именно нужный

В стереометрии рисунок помогает ориентироваться, но не доказывает прямого угла или принадлежности плоскости. Координатный метод допустим, если положение осей и точек объяснено.

Метод

Укажи начало и направления осей. Для угла между прямыми возьми ненулевые направляющие векторы: нулевое скалярное произведение доказывает ортогональность даже для скрещивающихся прямых. Уравнение плоскости проверь по трём неколлинеарным точкам.

Для плоскостиαx+βy+γz+δ=0 расстояние от M(x₀;y₀;z₀) равно|αx₀+βy₀+γz₀+δ|/√(α²+β²+γ²). Модуль обеспечивает неотрицательность, знаменатель нормирует коэффициенты.

Разобранный пример

У прямой квадратной призмы сторона основания 3, высота 4. Пусть A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0),C₁(3;3;4). Векторы BD=(−3;3;0),AC₁=(3;3;4) имеют произведение−9+9=0. Угол между прямыми 90°.

Плоскость ADC₁ задаётся 4x−3z=0: три точки подходят, AD и AC₁ неколлинеарны. Расстояние от B равно|4·3|/√(16+9)=12/5. Число 12 без знаменателя не является расстоянием: коэффициенты того же уравнения плоскости можно одновременно удвоить.

Ловушка

Перед применением Пифагора обоснуй прямой угол. Проекция наклонного отрезка на плоскость не обязана быть перпендикуляром к заданной прямой. Для угла между плоскостями используй нормали либо правильно построенный линейный угол.

Самопроверка

Найди расстояние от B до ADC₁ у квадратной прямой призмы со стороной 5 и высотой 12.

Ответ: плоскость 12x−5z=0, расстояние 60/13. Ортогональность BD и AC₁ остаётся:−25+25=0. Дробный ответ в развёрнутой задаче можно оставить точным.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Неравенство решается только на допустимой области

В развёрнутом ответе нужно сохранить ограничения, показать знак на промежутках и верно включить границы. Алгебра вне ОДЗ не создаёт допустимых решений.

Метод

У рационального выражения найди нули числителя и знаменателя. Последние всегда исключаются. При нестрогом знаке допустимые нули числителя включаются. Через простой корень знак меняется, через корень чётной кратности — нет.

У логарифма сначала потребуй положительность аргумента. При основании больше 1 знак сравнения сохраняется, между 0 и 1 — меняется. Замена t=aˣ требует t>0. После замены вернись к x и пересекай ответ с исходной ОДЗ.

Разобранный пример

Решим(x−1)(x−4)/(x−3)≥0. Критические точки 1,3,4; точка 3 запрещена. Справа от 4 знак плюс, при переходе через каждую простую точку меняется. Слева направо знаки: минус,плюс,минус,плюс. Ответ: [1;3) ∪ [4;+∞).

Для log₂((x−1)/(5−x))≥0 ОДЗ:1<x<5. На ней аргумент должен быть≥1: x−1≥5−x, то есть x≥3. Пересечение даёт [3;5). Нестрогий знак не возвращает запрещённую точку 5.

Ловушка

Нельзя умножать неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения случаев. Сокращение общих множителей не отменяет прежних запрещённых точек. У строгого неравенства корни числителя тоже исключаются.

Самопроверка

Реши(x+2)/(x−1)≤0. Объясни судьбу−2 и 1.

Ответ:[−2;1). В−2 числитель 0 и знаменатель ненулевой; в 1 дробь не определена. Проверка x=0 даёт−2 и подтверждает знак внутри промежутка.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Оптимизация: оценка плюс достижение

В проекте 2027 позиция 17 — прикладная задача и оптимизация. Сначала строят функцию из условия, затем определяют область и доказывают максимум или минимум. Производная не заменяет правильную модель.

Метод

Выбери переменную, вырази остальные величины через ограничение. Укажи положительность, верхние границы и, если речь о количестве действий, целочисленность. Найди критические точки и проверь границы. Для квадратного трёхчлена удобно выделить квадрат. Для av+b/v при v>0 можно использовать производную или неравенство средних.

Если непрерывный оптимум нецелый, сравни ближайшие допустимые целые и границы. Округление само по себе не доказывает оптимальности.

Разобранный пример

У стены ограждают прямоугольный участок; на три стороны есть 40 м ограды. Пусть x — каждая из двух перпендикулярных стене сторон,y — третья. Тогда 2x+y=40,0<x<20.

Площадь S=x(40−2x)=−2(x−10)²+200. Квадрат неотрицателен, значит S≤200 м². При x=10,y=20 равенство достигается. Доказаны и верхняя оценка, и существование лучшего участка. Если требуются размеры и площадь, одного x=10 недостаточно.

Ловушка

Для ограды всех четырёх сторон модель была бы 2x+2y=40. Выручка — цена, умноженная на число продаж; максимум одной цены не обязательно максимизирует произведение. Минимальные расходы и скорость, при которой они достигаются, имеют разные единицы.

Самопроверка

На три стороны участка у стены есть 60 м ограды. Найди размеры и максимальную площадь.

Ответ:15 м и 30 м, площадь 450 м². Выделение квадрата даёт S=−2(x−15)²+450 при 0<x<30.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Свойства фигуры нужно связать в доказательство

В развёрнутой планиметрии отделяй данные от доказанных следствий. Одной числовой проверки недостаточно для общего утверждения. Измерения иллюстративного рисунка не являются данными.

Метод

У касательных из одной точки равны отрезки до точек касания. Для сторон a,b,c и полупериметра s касательные на стороне c имеют длины s−a и s−b. Для вписанной окружности S=rs; в прямоугольном треугольнике r=(a+b−c)/2.

Для пересекающихся хорд PA·PB=PC·PD. В подобии указывай равные углы и соответствующие стороны. В координатах площадь треугольника с началом координат равна половине модуля определителя двух векторов.

Разобранный пример

В прямоугольном ABC угол C прямой, AC=3,BC=4,AB=5. Вписанная окружность касается AB в T. Тогда s=6,AT=2,BT=3, поэтому AT·BT=6=S(ABC).

Общее доказательство: AT·BT=((c+a−b)(c−a+b))/4=(c²−(a−b)²)/4. Подстановка c²=a²+b² даёт ab/2. Именно этот переход доказывает равенство, а не пример 3–4–5.

Для того же треугольника выберем C(0;0),A(3;0),B(0;4). Радиус 1, центр I(1;1), точка T=(9/5;8/5). Площадь CIT равна|8/5−9/5|/2=1/10. Маленький результат не противоречит площади большого треугольника 6.

Ловушка

Отношение площадей подобных треугольников — квадрат отношения сторон. Равенство, доказанное с использованием Пифагора, нельзя без новой проверки переносить с прямоугольного треугольника на произвольный.

Самопроверка

У прямоугольного треугольника катеты 5 и 12. Найди радиус вписанной окружности и произведение отрезков касания на гипотенузе.

Ответ: гипотенуза 13,s=15,r=2; отрезки 3 и 10, произведение 30, как и площадь 5·12/2.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Исследуй все значения параметра и допустимость корней

Нужно доказать число различных корней в каждом случае, а не решить уравнение при удобном a. Двойной корень считается одним различным значением.

Метод

При модуле разбей ось на ветви, отдельно проверь x=0. В каждой ветви исследуй дискриминант и принадлежность корней нужному промежутку; помогают сумма и произведение корней. Если старший коэффициент зависит от параметра, отдельно проверь его ноль. Границы дискриминанта требуют самостоятельного разбора.

Разобранный пример

Когда(x−a)²=4|x|−3 имеет четыре различных корня? При x=0 получилось бы a²=−3 — невозможно. На x>0 уравнение x²−(2a+4)x+a²+3=0 имеет D₊=16a+4. При a>−1/4 дискриминант положителен, сумма корней положительна и произведение a²+3 положительно: оба корня положительны.

На x<0 получается x²+(4−2a)x+a²+3=0 с D₋=4−16a. При a<1/4 оба действительных корня отрицательны: сумма 2a−4<0, произведение положительно. Поэтому две пары возникают при −1/4<a<1/4. На каждом конце одна пара сливается: всего 3, границы исключены. При a=0 действительно получаются−3,−1,1,3.

Ловушка

D>0 доказывает два действительных корня квадратного уравнения, но не их знак и не ОДЗ исходного. Нельзя автоматически удваивать число корней после раскрытия модуля. Если x=0 допустим в двух записях, это всё равно один корень.

Самопроверка

Для(x−a)²=6|x|−5 найди параметры с четырьмя корнями и отдельно границы с тремя.

Ответ:−2/3<a<2/3; три корня при a=−2/3 или 2/3. Дискриминанты 24a+16 и 16−24a; знаки корней проверяются суммой и положительным произведением a²+5.

По проекту ФИПИ ЕГЭ-2027.

Конструкция, невозможность и доказанный максимум

В задаче о числах каждый пункт может требовать своего доказательства. Для «да» нужен подходящий пример, для «нет» — исключение всех возможностей. Для максимума нужны верхняя оценка и набор, где она достигается.

Метод

Запиши ограничения целочисленности, положительности, различия чисел. Используй чётность, остатки и разложение на множители. Три числа арифметической прогрессии удобно записать m−d,m,m+d; при положительных различных целых 1≤d≤m−1 и d целое.

У положительных целых с фиксированной суммой и разрешёнными повторениями помогает выравнивание: замена a<b на a+1,b−1 при b−a≥2 увеличивает произведение на b−a−1, сохраняя сумму. В максимальном наборе числа отличаются не более чем на 1. Требование различия чисел меняет допустимую конструкцию.

Разобранный пример

Три различных положительных целых в арифметической прогрессии имеют сумму 30: это 10−d,10,10+d. Ровно два чётных невозможны: при чётном d все три чётные, при нечётном — только среднее.

Произведение 10(100−d²) не превосходит 990, поскольку d²≥1. При d=1 числа 9,10,11 достигают 990. Произведение 960 возможно: d²=4, подходят 8,10,12. Указаны оценка, достижение и конструкция для отдельного вопроса.

Ловушка

Несколько проверенных троек не доказывают максимум. Если произведение положительных целых — простое число, ровно один множитель больше 1; остальные 1. Нельзя молча допускать 0, отрицательные значения или повторения, если они исключены условием.

Самопроверка

У трёх различных положительных целых в арифметической прогрессии сумма 27. Возможны ли ровно два чётных? Каково максимальное произведение?

Ответ: да, например 8,9,10. Параметризация 9−d,9,9+d даёт 9(81−d²), максимум 720 при d=1. Пример подтверждает достижение, но не заменяет оценки d²≥1.