ЕГЭ: математика (база)

Сначала пойми, что считается целым

В этой позиции вопрос важнее последнего действия. Одной и той же дробью можно посчитать число автобусов, число покупок или расход материала, но округление будет разным.

• Нужно обеспечить всех: дели общее количество на вместимость и округляй вверх. Даже один оставшийся человек требует ещё одного места.
• Нужно узнать, на сколько хватит: дели запас на расход и округляй вниз. Остатка на целую покупку может не хватить.
• Нужна сдача: сначала стоимость всех покупок, потом купюра минус стоимость.

Разберём два разных решения

На экскурсию едут 67 человек, в автобусе 24 места. Два автобуса дают 48 мест, три — 72. Нужны 3. Здесь нельзя взять ближайшее целое: 67 : 24 ≈ 2,79, но решение определяется числом мест.

Есть 500 рублей, один билет стоит 120. Четыре билета стоят 480, пять — 600. Купить можно 4. Если купить три, сдача составит 500 − 3 · 120 = 140 рублей.

Где легко ошибиться

«Округлить» не всегда значит отбросить дробь или выбрать ближайшее целое. Проверь ответ обратным действием: хватит ли мест, денег, упаковок? Прежде чем делить, приведи величины к одним единицам: 1 кг = 1000 г, 1 м = 100 см. В ответе запиши только число, если условие не требует другого.

Проверь себя

На 91 лист хватает одной пачки бумаги. Сколько пачек нужно для 280 листов? А сколько полных наборов по 91 листу получится из 280?

Проверка: 4 пачки, но 3 полных набора. Объясни, почему остаток в этих двух вопросах действует по-разному. После ошибки полезнее повторить задачу с противоположным округлением, чем запомнить действие «прибавить один».

Сопоставляй смысл, единицы и порядок числа

Здесь нужно распределить значения между четырьмя величинами. Точная формула часто не нужна: достаточно понять, что можно измерять в данных единицах и какого размера бывает объект.

1. Прочитай единицу каждого значения: секунды и часы, граммы и килограммы, сантиметры и километры нельзя сравнивать напрямую.
2. Начни с уверенной пары. Высота двери около двух метров, масса яблока — сотни граммов, длительность урока — десятки минут.
3. Для оставшихся пар проверь порядок величины, а затем убедись, что каждое значение использовано ровно один раз.

Пример с переводом единиц

Нужно сопоставить толщину монеты, рост взрослого человека, высоту дома и расстояние между городами со значениями 170 см, 2 мм, 200 км и 30 м. Получаются: монета — 2 мм; человек — 170 см; дом — 30 м; города — 200 км. Число 170 больше 30, но 170 см = 1,7 м, поэтому человек ниже дома.

Другой ход: исключение

Если речь о массе чемодана, 20 мг сразу не подходит: столько весят крошечные количества вещества. Между 20 г и 20 кг выбирай по объекту, а не по внешнему виду числа. Известная пара помогает исключить её значение из остальных строк, но в конце каждую пару всё равно проверь по смыслу.

Где легко ошибиться

Не перепутай порядок букв А–Г с порядком значений. В бланк переносится номер выбранного значения под каждой буквой. Например, для А→3, Б→1, В→4, Г→2 записывают 3142, без единиц и разделителей.

Проверь себя

Какое значение правдоподобно для массы школьного рюкзака: 4 мг, 4 г, 4 кг или 4 т? Почему остальные три не подходят?

Проверка: 4 кг. Если ошибся, сначала назови единицу вслух и представь знакомый предмет такой массы; затем попробуй новую пару, а не ту же последовательность цифр.

Читай вопрос до поиска столбика

По одному графику могут спрашивать значение, номер месяца, час минимума или место команды. Это разные ответы. Сначала подчеркни, что нужно записать, потом читай оси и масштаб.

Столбики и точки

• По горизонтали найди объект или момент времени.
• По вертикали прочитай величину и шаг между соседними подписанными делениями.
• Для «наибольшее/наименьшее» сравни высоты всех нужных точек; для «в каком месяце» ответом будет номер месяца, а не температура.
• Отрицательные значения находятся ниже нуля. Нулевая высота столбика не означает, что данных за этот месяц нет.

Например, температуры за четыре месяца равны −4, 0, 3 и −1 °C. Минимальная температура −4, а номер месяца минимума — 1. Для вопроса «на сколько потеплело с первого по третий месяц» считай 3 − (−4) = 7.

Таблица результатов

Если итог — сумма баллов, сначала сложи каждую строку, затем ранжируй суммы. Команды набрали (2, 4, 1), (3, 2, 4), (1, 1, 2): итоги 7, 9 и 4. Первая команда заняла второе место. Отдельная победа в эстафете ещё не определяет итог турнира.

Где легко ошибиться

Не считай каждую клетку за единицу: между отметками 20 и 30 могут быть два или пять делений. Не выбирай самую высокую точку, если спрашивают наибольшее изменение. Изменение — разность двух значений. Точки соединены для наглядности; неподписанную точность из рисунка выдумывать не нужно.

Проверь себя

В таблице у команды А баллы 4, 2, 3; у Б — 5, 1, 1; у В — 2, 4, 4. Какое место у А?

Проверка: суммы 9, 7, 10, поэтому второе. Перед ответом ещё раз проверь: требуется место, а не сумма 9.

Формула уже дана — аккуратно подставь

Эта позиция проверяет чтение обозначений и порядок действий. Не нужно вспоминать другую формулу из физики: используй ту, которую напечатали в условии.

1. Выпиши значения букв вместе с единицами.
2. Замени каждую букву её числом, сохранив скобки, дробную черту и степень.
3. Сначала вычисли скобки и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
4. Проверь размер и знак результата.

Степень и дробная черта

Если P = U²/R, U = 12 и R = 6, то P = 12²/6 = 144/6 = 24. Квадрат относится к 12, а не ко всей дроби. Запись U²/R не равна U/(R²).

Для площади трапеции S = (a + b) · h / 2 при a = 8, b = 14, h = 10: S = (8 + 14) · 10 / 2 = 110. Сначала складываются основания, потом вся сумма умножается на высоту.

Десятичная формула

Пусть t = 1,8c + 32. Для c = 5 сначала 1,8 · 5 = 9, затем 9 + 32 = 41. Сложить 5 и 32 до умножения было бы другой формулой.

Где легко ошибиться

Не округляй промежуточный результат без необходимости. Если в условии единицы уже согласованы, дополнительный перевод не нужен; если нет — переведи до подстановки. Буквы с индексами обозначают разные величины, а не умножение на номер индекса. Обратная проверка и грубая прикидка помогают заметить потерянный ноль или степень.

Проверь себя

По формуле S = (a + b) · h / 2 найди S при a = 6, b = 10, h = 3. Как изменится S, если увеличить только h вдвое?

Проверка: 24; затем 48. Это видно и без нового вычисления: при неизменных основаниях площадь прямо пропорциональна высоте.

Сначала определи все возможные исходы

При равновозможных исходах P = число подходящих исходов / число всех исходов. Например, из 20 ручек 7 синих: вероятность выбрать синюю равна 7/20 = 0,35. В знаменателе все 20 ручек, а не 13 остальных.

Три разных приёма

• Прямой подсчёт: для нужной группы раздели её численность на общее количество.
• Противоположное событие: P(не A) = 1 − P(A). Если вероятность брака 0,03, вероятность годного изделия равна 0,97.
• Несколько испытаний: выпиши равновозможные последовательности. Для двух бросков честной монеты это ОО, ОР, РО, РР. Ровно один орёл встречается в двух случаях из четырёх, значит вероятность 0,5.

Когда нужны обе вероятности

Если два независимых изделия проверяют отдельно и вероятность годности каждого 0,9, то вероятность, что оба годны, равна 0,9 · 0,9 = 0,81. Вероятность хотя бы одного негодного — 1 − 0,81 = 0,19. Складывать 0,1 + 0,1 нельзя: случай двух негодных тогда посчитается дважды. Независимость должна следовать из условия, а не предполагаться для любого опыта.

Где легко ошибиться

«Ровно один», «хотя бы один» и «не больше одного» — разные события. Для двух монет это соответственно 2, 3 и 3 подходящих исхода, но последние две тройки состоят из разных исходов. Ответ лежит от 0 до 1; вероятность 35 % в десятичной записи — 0,35, а не 35.

Проверь себя

В коробке 6 красных и 9 белых деталей. Какова вероятность выбрать не красную? А если вероятность дождя 0,2, какова вероятность, что дождя не будет?

Проверка: 9/15 = 0,6; 1 − 0,2 = 0,8. После ошибки сначала назови подходящее событие словами, затем считай.

Сравнивай окончательный результат

Таблица обычно содержит несколько вариантов покупки, аренды или тарифа. Самая маленькая цена в одной клетке ещё не означает самый дешёвый подходящий вариант.

1. Выпиши ограничения: объём, срок, число мест, бесплатная доставка от некоторой суммы.
2. Исключи варианты, которые не подходят хотя бы по одному условию.
3. Посчитай полную стоимость каждого оставшегося: товар + доставка, аренда + обязательная плата, пакет + превышение.
4. Перечитай вопрос: нужен номер варианта, все подходящие номера, цена или рейтинг?

Покупка с доставкой

Нужны 12 плиток. В магазине А плитка стоит 90 рублей, доставка 300. В Б — 100 рублей, доставка бесплатная. Полные суммы: А — 12 · 90 + 300 = 1380; Б — 12 · 100 = 1200. Выбираем Б, хотя сама плитка там дороже.

Упаковки и тарифы

Если нужны 23 детали, в пачке 6, покупать придётся 4 пачки, а не 23/6. Для тарифа с 200 минутами и оплатой сверх пакета считают только превышение: при 260 минутах оплачиваются дополнительно 60. Если использовано 180 минут, перерасход равен нулю, а не −20.

Рейтинг и фильтр

У формулы рейтинга сохраняй коэффициенты и знаменатель: (2A + B)/3 не равно 2A + B/3. Для фильтра «не менее 5 мест и не дороже 800» обе границы включаются. Подходящих строк может быть несколько — тогда запиши все требуемые номера, а не только самый выгодный.

Проверь себя

Нужно 18 билетов. А: 80 рублей за билет и 200 за оформление; Б: 90 рублей без доплаты. Где дешевле и на сколько?

Проверка: А — 1640, Б — 1620; Б дешевле на 20. Не переносим в ответ номер или разницу, если условие просит именно стоимость.

Раздели три разных свойства графика

Выше нуля — про положение над горизонтальной осью. Возрастает — про движение слева направо вверх. Быстрее растёт — про крутизну, то есть изменение величины за единицу времени. График может находиться ниже нуля и при этом возрастать.

Величина по времени

Сначала прочитай единицы обеих осей. За равные промежутки сравни разности значений. Если температура изменилась с 4 до 10 за два часа, средняя скорость роста равна (10 − 4)/2 = 3 градуса в час. Для промежутков разной длины одной разности недостаточно.

Касательная и производная

Производная в точке — угловой коэффициент касательной: k = Δy/Δx. Касательная идёт вправо вверх — k > 0, вправо вниз — k < 0, горизонтальна — k = 0. Чем больше модуль k при одинаковом масштабе осей, тем круче наклон.

Например, прямая проходит через (0; 1) и (2; 5): k = (5 − 1)/(2 − 0) = 2. Другая через (0; 3) и (2; 2): k = −1/2. У второй касательной отрицательный наклон, даже если вся её видимая часть выше оси.

Соответствие по промежуткам

Для каждого промежутка отдельно проверь: знак функции, рост или убывание, постоянство, скорость изменения. Начинай с самого заметного свойства, затем проверяй каждую оставшуюся пару. Высшая точка графика и точка с наибольшей производной обычно не совпадают.

Проверь себя

График на данном промежутке — отрезок прямой, соединяющий точки (1; −5) и (3; −1). Функция на этом отрезке положительна или отрицательна? Возрастает или убывает? Каков наклон?

Проверка: отрицательна, возрастает, наклон 4/2 = 2. В заданиях на соответствие записывай номера характеристик по порядку букв, не значения производных.

Верное утверждение должно следовать из условий

Здесь недостаточно придумать один удобный пример. Слова «всегда», «любой», «каждый» требуют общего довода. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера, который удовлетворяет всем исходным условиям.

Отношения порядка

Если А выше Б, а Б выше В, то А выше В. Но если известно только, что А и В оба выше Б, сравнить А и В нельзя. Удобно рисовать стрелки или расставлять объекты на линии. Не превращай отсутствие сведений в доказательство равенства или неравенства.

Числа и знаки

• При умножении неравенства на положительное число знак сохраняется; на отрицательное — меняется.
• Квадрат числа неотрицателен, но не обязан быть положительным: 0² = 0.
• Из a > b не всегда следует a² > b². Контрпример: −1 > −3, но 1 < 9.
• Из двух чётных чисел получается чётная сумма; чтобы доказать это, запиши 2m + 2n = 2(m + n).

Пример проверки

Дано x > 3. Утверждение x² > 9 верно: x положителен и больше 3. Утверждение x > 4 не следует: x = 3,5 ему противоречит, хотя исходное x > 3 выполнено. Выбор специального x = 5 не доказывает второе утверждение.

Где легко ошибиться

Контрпример должен выполнять исходные ограничения: если сказано «натуральное», нельзя подставлять −2. Не читай «некоторые» как «все». Для ложного утверждения запиши причину, а для истинного — короткую цепочку фактов; это полезнее угадывания по знакомой фразе.

Проверь себя

Верны ли утверждения: «Если a < 0, то a² > 0»; «Если a² > 0, то a > 0»?

Проверка: первое верно, второе ложно: a = −1. В ответ задачи переноси только номера верных утверждений, как требует условие.

Сначала узнай площадь одной клетки

Если сторона клетки 1 м, площадь равна 1 м². Если сторона 2 м, площадь уже 4 м², а не 2. Поэтому сначала найди площадь фигуры в клетках и умножь её на квадрат масштаба.

Выбери удобное разбиение

• Прямоугольник: число клеток по длине умножь на число клеток по ширине.
• Треугольник: S = a · h / 2; основание и высоту измеряй в перпендикулярных направлениях.
• Составная фигура: сложи простые части или дострой до прямоугольника и вычти лишнее.
• Два участка: считай каждый участок с тем же масштабом, затем используй сумму или разность по вопросу.

Участок занимает прямоугольник 6 × 4 клетки без углового прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3 клетки. Площадь: 24 − 2 · 3 / 2 = 21 клетка. При стороне клетки 2 м это 21 · 4 = 84 м².

Если граница кривая

Для оценки площади озера посчитай целые клетки, затем объедини неполные примерно в целые. Можно получить нижнюю и верхнюю оценки и проверить, какое округлённое значение они поддерживают. Не требуй от рисунка точности, которой в условии нет; итог округляй только так, как попросили.

Ещё один способ для многоугольника

Если все вершины в узлах сетки, можно применить формулу Пика: S = В + Г/2 − 1, где В — число внутренних узлов, Г — число узлов на границе. Это площадь в клетках; масштаб всё равно учитывается после. На кривую границу озера формула не переносится.

Проверь себя

Треугольник имеет основание 5 клеток и высоту 4 клетки. Сторона клетки 3 м. Чему равна площадь?

Проверка: 5 · 4 / 2 = 10 клеток, затем 10 · 9 = 90 м². Типичная ошибка 30 показывает, что масштаб не возвели в квадрат.

Отдели длину от площади

Забор измеряют в метрах, участок и дорожку — в квадратных метрах, угол — в градусах. Этот выбор сразу подсказывает формулу и помогает не перепутать периметр с площадью.

Участок, дом и дорожка

Для свободной площади: площадь всего участка минус площадь занятой части. Например, квадрат 20 × 20 м с домом 8 × 6 м даёт 400 − 48 = 352 м².

Для дорожки вокруг прямоугольника сначала найди внешние размеры. Если сад 8 × 5 м окружён дорожкой шириной 1 м, внешние размеры 10 × 7 м: ширина добавилась с двух сторон. Площадь дорожки 70 − 40 = 30 м². Рисунок помогает увидеть части, но размеры берём из условия, а не измеряем линейкой на экране.

Забор и проезд

У прямоугольника P = 2(a + b). Для участка 30 × 75 м периметр 210 м. Если оставлен проезд 4 м, забора нужно 206 м, а не 214 и не 2250. Для нескольких проёмов вычитаются их длины, если они действительно остаются без ограждения.

Спицы, тень и масштаб

У равномерно расположенных n спиц угол между соседними равен 360°/n. Например, 24 спицы дают 15°. При подобных треугольниках отношения соответствующих сторон одинаковы: высота предмета/длина его тени одинакова при одних условиях освещения. На плане 1:100 один сантиметр означает 100 см, то есть 1 м; площади меняются в 100² раз.

Проверь себя

Прямоугольный участок 12 × 8 м нужно огородить, оставив два прохода по 1,5 м. Сколько метров ограды нужно?

Проверка: 2 · (12 + 8) − 3 = 37. Если ошибка связана с формулой, сначала назови, что ищешь: площадь внутри или длину границы.

Определи, что сохраняется

При переливании сохраняется объём воды, а не её высота. При погружении детали уровень поднимается на объём вытесненной воды. При склейке тел общая поверхность уменьшается на скрытые соприкасающиеся грани.

Вытеснение и переливание

В прямой призме V = Sосн · h. Если площадь основания неизменна, высота пропорциональна объёму. Было 10 л, после полного погружения детали уровень вырос в 1,6 раза: объём до нового уровня равен 16 л, значит объём детали 6 л = 6000 см³.

Для цилиндра V = πr²h. Если радиус нового сосуда в 2 раза больше, площадь основания в 4 раза больше, поэтому высота воды в 4 раза меньше. Из 40 см получится 10 см, если воду перелили полностью и она не перелилась через край.

Поверхность и склейка

У прямоугольного параллелепипеда S = 2(ab + ac + bc), у куба S = 6a². При склейке по общей грани вычти её площадь дважды из суммы поверхностей: она была наружной у обоих тел.

Объём коробки V = abc, куба V = a³, прямой призмы V = Sосн · h; её боковая поверхность равна Pосн · h. При разрезании куба на маленькие кубики найди, сколько рёбер малого кубика укладывается вдоль каждого большого ребра, и перемножь три количества. Число кубиков не равно отношению площадей.

Для ступенчатой детали с прямыми двугранными углами разбей поверхность на плоские прямоугольники. Отметь переднюю, заднюю, верхнюю, нижнюю и боковые стороны, чтобы ничего не потерять и не посчитать дважды. Подписанные размеры считывай с рисунка; видимая длина наклонного ребра не заменяет число.

Грани, рёбра и вершины

Считай только наружные элементы полученного тела. Совпавшая грань после приклеивания исчезает снаружи. Формула V − E + F = 2 помогает проверить счёт для выпуклого многогранника; здесь V означает число вершин, а не объём.

Проверь себя

Вода высотой 36 см перелита в цилиндр с радиусом в 3 раза больше. Какой будет высота?

Проверка: 36/9 = 4 см. Ошибка 12 означает, что увеличение площади основания перепутано с увеличением радиуса.

Найди опорный треугольник

Знакомые формулы часто скрыты в большом рисунке. Отметь прямой угол, высоту, медиану или радиус. Чертёж может быть схематичным: вывод делай по данным, а не по виду сторон.

Пифагор и медиана

В прямоугольном треугольнике c² = a² + b², где c — гипотенуза. Для катета используй a² = c² − b². У равнобедренного треугольника медиана к основанию делит основание пополам и является высотой. При боковой стороне 13 и основании 10 получаем высоту √(13² − 5²) = 12.

Медиана из прямого угла к гипотенузе равна половине гипотенузы. Обратный приём: если такая медиана равна 7, гипотенуза равна 14. Это свойство не относится к любой медиане любого треугольника.

Площадь и тригонометрия

S = ah/2; также S = ab · sin C/2 для двух сторон и угла между ними. В прямоугольном треугольнике sin α = противолежащий катет/гипотенуза, cos α = прилежащий катет/гипотенуза, tg α = противолежащий/прилежащий. Сначала выбери угол, потом определяй, какой катет к нему прилегает.

Окружность

Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Если радиус 5, диаметр 10, а одна хорда из конца диаметра равна 6, другая сторона вписанного прямоугольного треугольника равна √(100 − 36) = 8. Для центрального и вписанного угла на одну дугу: вписанный вдвое меньше центрального.

Радиус к точке касания перпендикулярен касательной. Поэтому расстояние до центра, радиус и касательная образуют прямоугольный треугольник. Средняя линия трапеции равна (a + b)/2; её площадь — средняя линия, умноженная на высоту. У параллелограмма S = ah. Для подобных треугольников сначала сопоставь стороны по равным углам: длины и периметры относятся как k, площади — как k².

Проверь себя

В равнобедренном треугольнике боковые стороны 10, основание 12. Найди высоту к основанию и площадь.

Проверка: половина основания 6, высота √(100 − 36) = 8, площадь 12 · 8/2 = 48. Если получил √(100 − 144), пропущено деление основания пополам.

Длина, площадь и объём меняются по-разному

Если все линейные размеры подобных тел увеличились в k раз, площади увеличились в k², объёмы — в k³. Коэффициент относится ко всем соответствующим длинам, а не к одной выбранной стороне.

Конус и подобие

У конуса V = πr²h/3. При сечении, параллельном основанию, маленький конус подобен целому. Если его высота составляет 1/3 высоты большого, радиус тоже составляет 1/3, а объём — 1/27. Если требуется оставшаяся часть, вычти маленький объём из полного.

У двух конусов одинаковой высоты объёмы относятся как квадраты радиусов. Если радиусы относятся 2:3, объёмы — 4:9. При одинаковом радиусе объём пропорционален высоте. Сначала выпиши, какие размеры совпадают.

Поверхности

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна Pосн · l/2, где l — апофема, высота боковой грани. Это не высота всей пирамиды. Для полной поверхности добавь площадь основания. У конуса Sбок = πrl, Sполн = πrl + πr²; у цилиндра Sбок = 2πrh.

Для шара S = 4πr², V = 4πr³/3. Не подставляй диаметр вместо радиуса. Объём призмы V = Sосн · h, пирамиды — Sосн · h/3; при одинаковом основании и высоте объём пирамиды втрое меньше. У двух конусов с равными радиусом и образующей боковые поверхности равны, даже если их иначе расположили на рисунке.

Диагональ и треугольник внутри тела

У прямоугольного параллелепипеда d² = a² + b² + c². Если рёбра 3, 4, 12, диагональ равна √(9 + 16 + 144) = 13. Для неизвестного ребра перенеси квадраты известных рёбер с минусом. Рисунок не обязан быть в масштабе.

Проверь себя

Ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз выросли площадь поверхности и объём? А если высота конуса прежняя, но радиус вырос в 2 раза, во сколько раз вырос объём?

Проверка: у куба в 4 и 8 раз; у конуса в 4 раза. Разница показывает, почему нельзя применять «куб масштаба», когда изменён только радиус.

Сохраняй точное значение до конца

Сначала найди удобный порядок преобразований, затем считай. В короткой записи легко потерять скобки, знак или запятую — поэтому полезно записать хотя бы один промежуточный шаг.

Десятичные и обыкновенные дроби

При сложении дробей приведи их к общему знаменателю: 3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20 = 1,15. При умножении сокращай множители до вычисления, а при делении умножай на обратную дробь. Сокращать слагаемые через плюс нельзя.

Например, 0,6 · 2,5 = (6 · 25)/100 = 1,5. Прикидка тоже помогает: произведение меньше 2,5, потому что один множитель меньше единицы. Ответ 15 противоречит этой проверке.

Степени десяти

10³ = 1000, 10⁻³ = 0,001. При умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один знак; при делении — влево. Например, (3,2 · 10⁴)/(8 · 10²) = (3,2/8) · 10² = 0,4 · 100 = 40.

Порядок действий и минус

Сначала скобки, потом степени, затем умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание. −3² = −9, а (−3)² = 9: во втором случае минус входит в основание степени. Длинная дробная черта заменяет скобки вокруг всего числителя и знаменателя.

Проверь себя

Найди 1,2 − 3/10 + 1/4. Как можно проверить порядок результата без точного вычисления?

Проверка: 1,2 − 0,3 + 0,25 = 1,15. Результат чуть меньше 1,2: сначала убрали 0,3, потом вернули меньшие 0,25. Если дробь конечная, в ответ можно записать десятичное число; единицы и выражение в бланк не переносят.

Назови величину, принятую за 100 %

Процент — сотая часть. p % от A равны A · p/100. Главная трудность — выбрать базу сравнения: исходную цену, новую цену, весь участок или только часть.

Изменение и обратная задача

Повышение на p % умножает на 1 + p/100; скидка — на 1 − p/100. Цена 800 после скидки 15 % становится 800 · 0,85 = 680.

Если после той же скидки получилось 680, исходную цену находят делением: 680/0,85 = 800. Добавить к 680 пятнадцать процентов нельзя: это будут проценты уже от другой базы.

Два последовательных изменения

Сначала рост на 20 %, затем уменьшение на 20 %: 100 · 1,2 · 0,8 = 96. Изменения не уничтожили друг друга. Для нескольких этапов перемножай коэффициенты, а не складывай проценты.

Отношения и доли

Если 45 га разделены между двумя культурами в отношении 2:7, всего 9 частей. Одна часть равна 45/9 = 5 га, вторая культура занимает 7 · 5 = 35 га. Число 7 означает не семь процентов, а семь частей из девяти.

Чтобы узнать, на сколько процентов A больше B, считай (A − B)/B · 100 %. Например, 60 больше 40 на 50 %, но 40 меньше 60 на 33⅓ %: разные базы дают разные проценты. В задаче с конечным ответом не округляй заранее.

Проверь себя

После повышения на 25 % абонентская плата стала 500 рублей. Сколько было раньше? А сколько станет после скидки 10 % от новой платы?

Проверка: 500/1,25 = 400; затем 500 · 0,9 = 450. Не объединяй два вопроса в одно изменение от первоначальной базы.

Узнай структуру до вычислений

Часто большие или неудобные числа исчезают после применения формулы. Найди произведение корней, сопряжённые скобки, степень или логарифм и только затем считай.

Корни и скобки

Для a, b ≥ 0: √a · √b = √(ab). Поэтому √20 · √5 = √100 = 10. В общем случае √(a²) = |a|: например, √((−3)²) = 3. Корень из суммы обычно не равен сумме корней.

Сопряжённые скобки дают разность квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b². Например, (√21 − 2)(√21 + 2) = 21 − 4 = 17. Квадрат суммы содержит средний член: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Степени и логарифмы

При a > 0: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Для логарифма logₐ b = c означает aᶜ = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0. Значит 5^(log₅6) = 6, а log₂8 = 3. Основание степени и основание логарифма должны совпадать.

Тригонометрия

У синуса и косинуса период 360°: sin(α + 360°k) = sin α. Поэтому sin 750° = sin 30° = 1/2, и 26 · sin 750° = 13. Для знака определи четверть; sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α. Не смешивай градусы и радианы.

Проверь себя

Найди (√13 − 3)(√13 + 3) и 2^(log₂7). Почему в первом примере не нужно приближать √13?

Проверка: 4 и 7. В первом выражении корень исчезает точно по формуле; округление до умножения лишь создало бы ошибку.

Ответ должен подходить исходному уравнению

Сначала определи вид уравнения. После преобразований проверь ограничения и подставь полученное значение обратно. Если корней несколько, перечитай, какой из них просят: больший, меньший или удовлетворяющий условию.

Линейное и квадратное

В 3x − 5 = 10 перенеси число: 3x = 15, x = 5. Для ax² + bx + c = 0 используй разложение или D = b² − 4ac и x = (−b ± √D)/(2a), a ≠ 0. Например, x² − 5x + 6 = 0 раскладывается как (x − 2)(x − 3) = 0: корни 2 и 3, больший — 3.

Дробь и корень

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Перед сокращением выпиши запретные значения.

Для √(2x + 1) = 3 возведи обе части в квадрат: 2x + 1 = 9, x = 4. Проверка: √9 = 3. Если справа выражение с x, оно тоже должно быть неотрицательным; возведение в квадрат может добавить посторонние корни.

Показательное и логарифмическое

2^(x−1) = 8 = 2³, поэтому x − 1 = 3 и x = 4. Равенство степеней с одним положительным основанием, не равным 1, позволяет сравнить показатели.

Для log₂(x − 1) = 3 сначала x > 1, затем x − 1 = 8, x = 9. При объединении логарифмов проверь положительность каждого исходного аргумента, а не только произведения после преобразования.

Проверь себя

Реши (x − 2)/(x + 1) = 0. Затем реши x² − 7x + 10 = 0 и выбери больший корень.

Проверка: 2; корни 2 и 5, больший 5. В первом уравнении x = −1 запрещён, хотя это число встречается в знаменателе.

Сначала расположи числа по величине

Точка на числовой прямой задаёт значение, а не номер подписи. Для соответствия вычисли или оцени каждое выражение, затем сопоставь положениям слева направо. Номер выражения записывай под нужной буквой.

Прикидка без калькулятора

Если 25 < 30 < 36, то 5 < √30 < 6. Поскольку 2³ < 10 < 2⁴, имеем 3 < log₂10 < 4. Число 7/3 между 2 и 3, а 2⁻² = 1/4 между 0 и 1. Этой информации часто достаточно: вычислять бесконечные дроби не нужно.

Выражения через параметр

При m = 1,4 получаем 4m = 5,6; m² = 1,96; m − 1 = 0,4; 1 − m = −0,4. Порядок: 1 − m < m − 1 < m² < 4m. Удобно сначала выделить отрицательные, затем числа меньше единицы, затем остальные. Формулы m − 1 и 1 − m противоположны, а не равны.

Неравенства

Решай линейное неравенство как уравнение, но при делении на отрицательное число переверни знак. Например, −2x > 6 означает x < −3. Строгий знак не включает границу, нестрогий включает.

Показательная функция с основанием больше 1 возрастает: 2ˣ > 8 даёт x > 3. С основанием между 0 и 1 она убывает, и направление сравнения меняется. В логарифмическом неравенстве сначала учитывай область определения, затем монотонность основания.

Проверь себя

Реши 5 − 3x ≥ 11. Проверь ответ подстановкой одного подходящего и одного неподходящего числа.

Проверка: −3x ≥ 6, значит x ≤ −2. Для x = −3 получаем 14 ≥ 11, для x = 0 — неверное 5 ≥ 11. Так обнаруживается забытый переворот знака.

Здесь может быть несколько верных ответов

Если просят «какое-нибудь одно число», достаточно найти одно, которое выполняет все условия. Не нужно угадывать единственный задуманный вариант. Но случайная цифра без проверки делимости не считается решением.

Полезные признаки

• На 2 делятся числа с чётной последней цифрой; на 5 — оканчивающиеся на 0 или 5.
• На 3 и 9 проверяй сумму цифр.
• На 4 — число из двух последних цифр; на 8 — из трёх последних.
• На 11 — разность сумм цифр на чередующихся местах должна делиться на 11, включая 0.
• Для делимости на 22 одновременно нужны делимость на 2 и на 11.

Приписать, заменить, вычеркнуть

Если нужно приписать цифру к 23 для делимости на 9, сумма цифр 2 + 3 + d должна делиться на 9. Подходит d = 4, получаем 234.

При вычёркивании порядок оставшихся цифр сохраняется: из 12345 нельзя получить 531. Вычёркивай именно указанное количество цифр; первая оставшаяся цифра не должна быть нулём, если требуется число определённой разрядности. После выбора проверь и разрядность, и делитель, и дополнительные свойства.

Остатки и небольшой перебор

Если число при делении на 5 даёт остаток 2, оно имеет вид 5k + 2. В заданном диапазоне выпиши 12, 17, 22, 27… и проверь второе условие. При двух равных ненулевых остатках остаток меньше каждого делителя и не равен нулю.

Проверь себя

Найди двузначное число, которое при делении на 5 даёт остаток 2, а при делении на 3 — остаток 1.

Проверка: например, 22: 22 = 5 · 4 + 2 = 3 · 7 + 1. Подходит также 37. Разные ответы допустимы, если условие не просит наименьший. При повторении меняй способ: сначала признак делимости, потом короткий осмысленный перебор.

Запиши, что складывается и что сохраняется

Небольшая таблица «величина — формула — значение» полезнее попытки сразу угадать действие. Проверь единицы: минуты переведи в часы, метры — в километры, проценты — в доли, если формула требует долю.

Движение

Путь s = vt. При встречном движении скорости складываются, при погоне из большей вычитают меньшую. Если быстрый дошёл до цели и повернул, до встречи он прошёл путь до цели и часть обратного пути: нарисуй оба отрезка, а не считай всю прогулку встречным движением с начала.

Средняя скорость — весь путь / всё время. Для двух равных участков 60 км на 30 км/ч и 60 км на 60 км/ч: время 2 + 1 = 3 ч, средняя 120/3 = 40 км/ч, а не 45. По течению скорость лодки v + u, против — v − u. Поезд мимо столба проезжает собственную длину; мимо платформы — длину поезда плюс платформы.

Растворы

Масса вещества равна массе раствора, умноженной на долю вещества. В 5 кг 20-процентного раствора 1 кг вещества. После добавления 3 кг воды общая масса 8 кг, концентрация 1/8 · 100 % = 12,5 %. При смешивании двух растворов складывают массы вещества и полные массы; среднее процентов годится лишь для равных масс.

Совместная работа

Если один выполняет всю работу за a часов, его производительность 1/a работы в час. Производительности складываются. Для 6 и 3 часов совместная производительность 1/6 + 1/3 = 1/2, значит вся работа займёт 2 часа.

Проверь себя

В 10 кг 30-процентного раствора добавили 5 кг воды. Какова новая концентрация? Почему нельзя просто вычесть 5 из 30?

Проверка: вещества 3 кг, полная масса 15 кг, концентрация 20 %. Пять — масса воды, а тридцать — проценты: вычитать величины разных типов нельзя.

Ищи ограничение или неизменную сумму

Здесь помогает не редкая формула, а короткая модель: обозначить неизвестное, рассмотреть худший случай, посчитать промежутки или найти равенство, которое сохраняется.

Очки, покупки и целые числа

Для викторины обозначь верные и неверные ответы x и y: набранные очки равны «награда · x − штраф · y». Учти x + y ≤ числу вопросов и дополнительное условие об ошибках. Перебирай только целые допустимые значения. Для покупки на точную сумму аналогично: цена₁ · x + цена₂ · y = сумма; проверь ограничения количества каждого товара.

Прямоугольник с двумя разрезами

Два разреза, параллельные сторонам, образуют сетку 2 × 2. Сумма периметров противоположных частей одинакова: Pверх-лев + Pниз-прав = Pверх-прав + Pниз-лев. Каждая горизонтальная и вертикальная длина встречается в обеих суммах одинаковое число раз. Для периметров 24, 28 и 16 по часовой стрелке неизвестный равен 24 + 16 − 28 = 12. Это про периметры; заменять их площадями в этой формуле нельзя.

Другие короткие модели

• Худший случай: чтобы гарантировать одинаковые предметы, сначала представь наименее удачный набор, а затем возьми ещё один.
• Турнир каждый с каждым: число встреч n(n − 1)/2, поскольку каждая пара учитывается дважды в n(n − 1).
• Страницы: 1–9 дают 9 цифр, 10–99 дают 180, далее по 3 на страницу.
• Головы и ноги: замена двуногого четвероногим добавляет 2 ноги при том же числе голов.
• Доли класса: целое число учеников делится на нужные знаменатели; ищи кратное их НОК в заданных границах.
• Промежутки: между n столбами на прямой n − 1 промежутков. На замкнутом кольце правило другое.
• Кольцевая дорога: проверяй обе дуги между точками; расстоянием по условию может быть именно кратчайшая.
• Таблица: сложи суммы столбцов и сравни общую сумму с возможной суммой одной строки, учитывая строгие границы.

Проверь себя

Часы сделали 6 ударов с промежутком 2 секунды. Сколько времени от первого удара до последнего?

Проверка: промежутков 5, поэтому 10 секунд. Объяснение «почему именно пять» важнее запоминания ответа; затем реши задачу с другой моделью, например о разрезанном прямоугольнике.