Геометрия повышенной сложности (часть 2)

Теория

Теория: геометрия повышенной сложности

Задача №25 — вычислительная, но «в лоб» не решается: нужен ход. Почти всегда он один из этих.

Подобие треугольников. Признаки: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S₁/S₂ = k².

Вписанный угол. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Касательная. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.

Теорема косинусов: a² = b² + c² − 2·b·c·cos A — когда известны две стороны и угол между ними.
Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = 2R — связывает стороны, углы и радиус описанной окружности.

Отношение площадей. Треугольники с общей высотой относятся как их основания; медиана делит треугольник на два равновеликих.

Приём решения

1. Сделай большой чертёж и отметь ВСЕ равные углы: вертикальные, вписанные на одну дугу, накрест лежащие при параллельных.
2. Ищи пару подобных треугольников — большинство задач №25 держится на подобии.
3. Введи переменную за неизвестный отрезок и вырази через неё остальное (подобием или теоремой косинусов).
4. Проверь ответ на правдоподобие: длины положительны, неравенство треугольника соблюдается, порядок величин разумный.

Термины темы

Понятия из теории выше — нажми, чтобы разобрать определение, признаки и пример:

• Отношение — частное двух чисел a : b; показывает, во сколько раз одно число больше другого.
• Подобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами: один — копия другого в масштабе.
• Коэффициент — число, на которое умножена переменная: в записи −3x² коэффициент равен −3.
• Вписанный угол — угол с вершиной на окружности; равен половине дуги, на которую он опирается.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; диаметр вдвое больше радиуса.
• Радиус — отрезок от центра окружности до её точки; все радиусы одной окружности равны.
• Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника; её центр равноудалён от вершин.
• Окружность — линия из всех точек плоскости, удалённых от центра на одно и то же расстояние.
• Медиана — отрезок из вершины треугольника в середину противоположной стороны; делит её пополам.
• Переменная — буква, вместо которой подставляют разные числа — значения переменной.