Неравенства, системы неравенств

Q: В каких заданиях ОГЭ по математике встречается тема «Неравенства, системы неравенств»?

Тема «Неравенства, системы неравенств» встречается в задании №13 — по действующим спецификации и демоверсии ФИПИ.

Теория, разобранные примеры и практика по теме «Неравенства, системы неравенств» для подготовки к ОГЭ по математике в 2027 году.

Теория

Квадратное неравенство ax² + bx + c ≤ 0 (≥, <, >). Сначала переносим всё влево, чтобы справа был 0.

Приём решения (по методу эталона)

Найди корни уравнения ax² + bx + c = 0 (Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a).
Определи направление ветвей: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз.
Отметь корни на оси, нарисуй параболу: где над осью — «+», под осью — «−».
Выбери промежуток по знаку (ветви вверх):

≤ 0 ⇒ между корнями [x₁; x₂]; < 0 ⇒ (x₁; x₂) — при строгом знаке корни НЕ входят.
≥ 0 ⇒ вне корней (−∞; x₁] ∪ [x₂; +∞); > 0 ⇒ (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).

Скобки

Строгое (<, >) — круглая ( ); нестрогое (≤, ≥) — квадратная [ ]. (Знаки ∞ — всегда круглая.)

Системы неравенств

Решаем каждое неравенство отдельно, ответ — пересечение промежутков на одной оси.

Термины темы

Понятия из теории выше — нажми, чтобы разобрать определение, признаки и пример:

Система неравенств — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно; ответ — общая часть промежутков.
Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c больше или меньше нуля; ответ — промежуток, а не два числа.
Парабола — график квадратичной функции y = ax² + bx + c: вершина и две симметричные ветви.

Попробуй решить

Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:

Укажите решение неравенства −5·x + 20 ≥ 0.
1. (−∞; 4]
2. [4; +∞)
3. (−∞; −4]
4. [−4; +∞)
В ответе укажите номер правильного варианта.
Укажите решение неравенства x² + 2·x − 48 > 0.
1. (−∞; −8)
2. [−8; 6]
3. (6; +∞)
4. (−∞; −8)∪(6; +∞)
В ответе укажите номер правильного варианта.
Укажите решение неравенства x² + 3·x − 28 < 0.
1. (−7; 4)
2. (−∞; 4)
3. (−∞; −7]∪[4; +∞)
4. (−7; +∞)
В ответе укажите номер правильного варианта.
Укажите решение неравенства −x + 5 ≤ 0.
1. [5; +∞)
2. (−∞; 5]
3. [−5; +∞)
4. (−∞; −5]
В ответе укажите номер правильного варианта.
Укажите решение неравенства x² + 14·x + 45 ≥ 0.
1. (−9; −5)
2. (−∞; −9]∪[−5; +∞)
3. (−∞; −9]
4. [−5; +∞)
В ответе укажите номер правильного варианта.
Укажите решение неравенства x² − 6·x + 5 > 0.
1. [1; 5]
2. (−∞; 1)
3. (5; +∞)
4. (−∞; 1)∪(5; +∞)
В ответе укажите номер правильного варианта.

Разбор заданий

Разобранный пример

Укажите решение неравенства x² + 5·x − 36 ≤ 0.

(−∞; −9)∪(4; +∞)
(−∞; −9]
[4; +∞)
[−9; 4]

В ответе укажите номер правильного варианта.

Показать решение

Корни уравнения x² + 5·x − 36 = 0: x₁ = −9, x₂ = 4 (по теореме Виета: сумма корней −5, произведение −36). Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства со знаком «≤» — [−9; 4]. Это вариант 4.
Ответ: 4.

Разобранный пример

Укажите решение неравенства 4·x − 24 ≥ 0.

[−6; +∞)
[6; +∞)
(−∞; −6]
(−∞; 6]

В ответе укажите номер правильного варианта.

Показать решение

Перенесём свободный член вправо: 4·x ≥ 24. Разделим обе части на 4: x ≥ 6. Решение: [6; +∞). Это вариант 2.
Ответ: 2.

Реши задачи по этой теме в тренажёре →Мгновенная проверка, подсказки и разбор именно твоей ошибки. Бесплатно и без регистрации.

Частые вопросы

Что нужно знать по теме «Неравенства, системы неравенств» для ОГЭ по математике?

Квадратное неравенство ax² + bx + c ≤ 0 (≥, <, >). Сначала переносим всё влево, чтобы справа был 0. Приём решения (по методу эталона) 1. Найди корни уравнения ax² + bx + c = 0 (Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a). 2. Определи направление ветвей : a > 0 — вверх, a < 0 — вниз. 3. Отметь корни на… Полный разбор с примерами — выше на этой странице.

В каких заданиях ОГЭ по математике встречается тема «Неравенства, системы неравенств»?

Тема «Неравенства, системы неравенств» встречается в задании №13 — по действующим спецификации и демоверсии ФИПИ.

Где потренироваться в заданиях по теме «Неравенства, системы неравенств»?

В тренажёре Совелия — задачи этого типа с мгновенной проверкой, подсказками и разбором именно твоей ошибки. Бесплатно, без рекламы, прогресс сохраняется.