Графики функций с параметром (часть 2)

Теория

Графики функций с параметром (часть 2)

Прямая y=m — горизонталь; число общих точек с графиком = сколько раз он её пересекает на высоте m.

Сумма модулей

y=|x+a|+|x+b| раскрывают по промежуткам (точки −a, −b). Между ними — горизонтальное «дно»: постоянное значение (минимум). Если m = высоте дна, прямая ложится на него ⇒ бесконечно много общих точек.

Пример: y=|x+1|+|x−2| на отрезке [−1; 2] равно 3 ⇒ при m=3 точек бесконечно много.

Дробь с сокращением

В y=(дробь) разложить числитель и знаменатель, сократить. Остаётся простая функция с выколотой точкой (где знаменатель = 0).
Нет общих точек при m = асимптота (значение, не достигаемое функцией).
При m = ордината выколотой точки из пересечений выпадает ТОЛЬКО сама выколотая точка: у гиперболы k/x это даёт «нет общих точек», а у параболы с выколом — ровно одну общую точку (вторая ветвь никуда не делась). Каждый раз смотри, сколько раз прямая y = m пересекает оставшийся график.

Пример: y=(−9x−27)/(x²+3x) = −9/x, выколота точка (−3; 3). Нет точек при m=0 (асимптота) и m=3 (выкол).

Приём по шагам

1. Упростить (модули по промежуткам / сократить дробь).
2. Найти дно, асимптоты, выколотые точки.
3. Сравнить с y=m, выбрать нужное m.