Теория
Графики функций с параметром (часть 2)
Прямая y=m — горизонталь; число общих точек с графиком = сколько раз он её пересекает на высоте m.
Сумма модулей
y=|x+a|+|x+b| раскрывают по промежуткам (точки −a, −b). Между ними — горизонтальное «дно»: постоянное значение (минимум). Если m = высоте дна, прямая ложится на него ⇒ бесконечно много общих точек.
Пример: y=|x+1|+|x−2| на отрезке [−1; 2] равно 3 ⇒ при m=3 точек бесконечно много.
Дробь с сокращением
В y=(дробь) разложить числитель и знаменатель, сократить. Остаётся простая функция с выколотой точкой (где знаменатель = 0).
Нет общих точек при:
- m = асимптота (значение, не достигаемое функцией),
- m = ордината выколотой точки.
Пример: y=(−9x−27)/(x²+3x) = −9/x, выколота точка (−3; 3). Нет точек при m=0 (асимптота) и m=3 (выкол).
Приём по шагам
- Упростить (модули по промежуткам / сократить дробь).
- Найти дно, асимптоты, выколотые точки.
- Сравнить с y=m, выбрать нужное m.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
Разбор заданий
Постройте график функции y = (−15x + 45)/(x² − 3x) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки. В ответе укажите сумму таких значений m.
Показать решение
Область определения: x ≠ 0 и x ≠ 3. Разложим на множители: y = −15(x − 3)/(x(x − 3)). После сокращения y = −15/x при x ≠ 3. График — гипербола y = −15/x с выколотой точкой (3; −5). Прямая y = m при m ≠ 0 пересекает гиперболу ровно в одной точке x = −15/m; при m = 0 общих точек нет (ось абсцисс — горизонтальная асимптота). Единственная точка пересечения совпадает с выколотой, когда −15/m = 3, то есть при m = −5 общих точек тоже нет. Итого общих точек нет при m = 0 и m = −5. Их сумма: 0 + (−5) = −5.
Ответ: −5.
Постройте график функции y = (x³ − 7x² + 12x)/(x − 3) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. В ответе укажите наименьшее из таких значений m.
Показать решение
Разложим числитель на множители: x³ − 7x² + 12x = (x)(x − 4)(x − 3). При x ≠ 3 дробь сокращается: y = (x)(x − 4) = x² − 4x. График — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке (2; −4) и выколотой точкой (3; −3). Прямая y = m не пересекает параболу при m < −4, касается её в вершине при m = −4 и пересекает в двух точках при m > −4. Вершина не выколота (выколота точка с абсциссой x = 3, а не x = 2), поэтому при m = −4 ровно одна общая точка. При m = −3 прямая проходит через выколотую точку: из двух точек пересечения остаётся одна (вторая, x = 1, не выколота). При остальных m > −4 общих точек две. Итого ровно одна общая точка при m = −4 и m = −3. Наименьшее из этих значений: −4.
Ответ: −4.
Частые вопросы
Что нужно знать по теме «Графики функций с параметром (часть 2)» для ОГЭ по математике?
Ключевые понятия и правила темы разобраны выше по шагам. Ниже — примеры заданий ОГЭ этого типа с полным разбором. Всё выверено под спецификацию и демоверсию ФИПИ-2026.
Где потренироваться в заданиях по теме «Графики функций с параметром (часть 2)»?
В тренажёре Совелия — задачи этого типа с мгновенной проверкой, подсказками и разбором именно твоей ошибки. Бесплатно, без рекламы, прогресс сохраняется.
Задания соответствуют ОГЭ-2026?
Да. Теория и задачи выверены по спецификации и демонстрационным вариантам ФИПИ 2026 года; правильность решений проверена независимым пересчётом по эталону.