Уравнения (часть 2)

Теория

Биквадратные уравнения

Вид: ax⁴ + bx² + c = 0. Замена t = x², причём t ≥ 0. Получаем квадратное at² + bt + c = 0.
Дискриминант: D = b² − 4ac, корни t = (−b ± √D) / (2a).

Приём:

1. Замена t = x², решить квадратное уравнение.
2. Отбросить корни с t < 0 (так как x² ≥ 0).
3. Для каждого годного t: x = ±√t.
4. Записать ответ. Симметричные корни ±√t дают сумму 0.

_Пример:_ x⁴ − 17x² − 684 = 0 ⇒ t² − 17t − 684 = 0, D = 3025, √D = 55, t = 36 или −19 (отбросить). x² = 36 ⇒ x = ±6. Сумма = 0.

Дробно-рациональные уравнения

Дробь = 0, когда числитель = 0, а знаменатель ≠ 0.

Приём (пропорция a/b = c/d):

1. ОДЗ: знаменатели ≠ 0.
2. Крест-накрест: a·d = b·c.
3. Решить полученное уравнение.
4. Проверить корни по ОДЗ, лишние отбросить.

Важно: корень, обнуляющий знаменатель, не подходит.

_Пример:_ 2/(x−3) = 6/(x−1), ОДЗ x ≠ 3, x ≠ 1. ⇒ 2(x−1) = 6(x−3) ⇒ x = 4.

Термины темы

Понятия из теории выше — нажми, чтобы разобрать определение, признаки и пример:

• Биквадратное уравнение — уравнение ax⁴ + bx² + c = 0; заменой t = x² сводится к квадратному, корни x = ±√t.
• Дискриминант — число D = b² − 4ac: по его знаку видно, сколько корней у квадратного уравнения.
• Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0; у него два корня, один или ни одного.
• Дробно-рациональное уравнение — уравнение с переменной в знаменателе; корни, обнуляющие знаменатель, отбрасывают.
• Пропорция — равенство двух отношений a : b = c : d; произведение крайних членов равно произведению средних.