Определение
Асимптота — это прямая, к которой ветвь графика функции неограниченно приближается, уходя в бесконечность: расстояние от точки графика до этой прямой становится сколь угодно малым. У гиперболы y = k/x две асимптоты — оси координат: график подходит к ним сколь угодно близко, но ни одну не пересекает, потому что x ≠ 0 и y ≠ 0.
Ключевые признаки
- Горизонтальная асимптота — прямая y = c, к которой прижимается график при очень больших по модулю x; у y = k/x это ось Ox, то есть y = 0
- Вертикальная асимптота — прямая x = a, возле которой значения функции по модулю неограниченно растут; у дроби она там, где обращается в нуль знаменатель уже сокращённой дроби; у y = k/x это ось Oy (x = 0)
- Значение не достигается — у y = k/x нет значения y = 0, поэтому прямая y = m при m = 0 не имеет с гиперболой общих точек, а при любом другом m пересекает её ровно в одной точке
- Сдвиг вместе с графиком — у функции y = k/(x − a) + b асимптоты x = a и y = b: при сдвиге гиперболы её асимптоты сдвигаются вместе с ней
Пример
Функция y = 5/x. При x = 1 получаем y = 5, при x = 100 — y = 0,05, при x = 1000 — y = 0,005: ветвь прижимается к оси Ox, но y = 0 не получится ни при каком x. А при x = 0,01 уже y = 500 — ветвь уходит вверх вдоль оси Oy. Значит, обе оси — асимптоты, и прямая y = 0 не имеет с графиком ни одной общей точки.
Тема целиком: Графики функций с параметром (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Асимптота и выколотая точка
Асимптота — целая прямая, к которой ветвь графика лишь приближается; у гиперболы y = k/x значение на асимптоте не достигается нигде. Выколотая точка — одна «дырка» в графике: она остаётся после сокращения дроби там, где сокращённый множитель равен нулю. Прямая y = m на высоте выколотой точки теряет только эту точку: у гиперболы других общих точек нет, а у параболы с выколом обычно остаётся ещё одна общая точка на другой ветви.
Частые вопросы
Что такое асимптота простыми словами (для 7–9 класса)?
Асимптота — это прямая, к которой ветвь графика функции неограниченно приближается, уходя в бесконечность: расстояние от точки графика до этой прямой становится сколь угодно малым. У гиперболы y = k/x две асимптоты — оси координат: график подходит к ним сколь угодно близко, но ни одну не пересекает, потому что x ≠ 0 и y ≠ 0.
Как асимптота выглядит на практике?
Функция y = 5/x. При x = 1 получаем y = 5, при x = 100 — y = 0,05, при x = 1000 — y = 0,005: ветвь прижимается к оси Ox, но y = 0 не получится ни при каком x. А при x = 0,01 уже y = 500 — ветвь уходит вверх вдоль оси Oy. Значит, обе оси — асимптоты, и прямая y = 0 не имеет с графиком ни одной общей точки.
В каких заданиях ОГЭ встречается «асимптота»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.