Определение
Высота треугольника — это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. Конец высоты на этой прямой называют основанием высоты. У каждого треугольника три высоты — по одной из каждой вершины.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.</li><li>Касательная к окружности имеет с ней ровно две общие точки.</li><li>Все высоты равностороннего треугольника равны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>В тупоугольном треугольнике все углы тупые.</li><li>Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.</li><li>Около любого треугольника можно описать окружность.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Через любые три точки проходит ровно одна прямая.</li><li>Каждая высота треугольника лежит внутри этого треугольника.</li><li>Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.</li><li>В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.</li><li>В любой четырёхугольник можно вписать окружность.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
Ключевые признаки
- Прямой угол — высота всегда образует угол 90° с прямой, на которую опущена; делить сторону или угол пополам она не обязана
- Положение — в остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри, в прямоугольном две из них совпадают с катетами, в тупоугольном две высоты лежат вне треугольника
- Площадь — S = ½·a·h, где h — высота, проведённая к стороне a; отсюда h = 2S/a
- Высота к гипотенузе — в прямоугольном треугольнике высота из вершины прямого угла равна h = ab/c, где a и b — катеты, c — гипотенуза, а также h = √(p·q), где p и q — отрезки, на которые она делит гипотенузу
Пример
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12, гипотенуза √(81 + 144) = 15. Высота из вершины прямого угла h = 9 · 12 / 15 = 7,2. Она делит гипотенузу на отрезки 5,4 и 9,6, и √(5,4 · 9,6) = √51,84 = 7,2. Проверка площадью: ½ · 9 · 12 = 54 и ½ · 15 · 7,2 = 54.
Тема целиком: Геометрия: задачи на вычисление (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Высота треугольника и медиана
Медиана соединяет вершину с серединой противолежащей стороны, биссектриса делит угол треугольника пополам, а высота перпендикулярна прямой, содержащей противолежащую сторону. В произвольном треугольнике из одной вершины это три разных отрезка; совпадают они только в равнобедренном треугольнике, если проведены к основанию (в равностороннем — из любой вершины).
Частые вопросы
Что такое высота треугольника простыми словами (для 7–9 класса)?
Высота треугольника — это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. Конец высоты на этой прямой называют основанием высоты. У каждого треугольника три высоты — по одной из каждой вершины.
Как высота треугольника выглядит на практике?
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12, гипотенуза √(81 + 144) = 15. Высота из вершины прямого угла h = 9 · 12 / 15 = 7,2. Она делит гипотенузу на отрезки 5,4 и 9,6, и √(5,4 · 9,6) = √51,84 = 7,2. Проверка площадью: ½ · 9 · 12 = 54 и ½ · 15 · 7,2 = 54.
В каких заданиях ОГЭ встречается «высота треугольника»?
Этот термин встречается в заданиях №19, №23, №24 — потренируйся в тренажёре Совелия.