Определение
Биквадратное уравнение — это уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. В нём переменная стоит только в четвёртой и второй степени, поэтому заменой t = x² оно сводится к квадратному уравнению at² + bt + c = 0.
Ключевые признаки
- Замена t = x² — уравнение at² + bt + c = 0 уже квадратное: D = b² − 4ac, t = (−b ± √D)/(2a)
- Отбор t ≥ 0 — x² не бывает отрицательным, поэтому корни t < 0 отбрасывают; t = 0 даёт один корень x = 0
- Возврат к x — каждое положительное t даёт два корня x = √t и x = −√t, поэтому у биквадратного уравнения может быть от нуля до четырёх корней
- Сумма корней равна 0 — корни идут парами x и −x, поэтому, если корни есть, их сумма всегда равна нулю
Пример
Решим x⁴ − 5x² − 36 = 0. Замена t = x²: t² − 5t − 36 = 0, D = 25 + 144 = 169, t = (5 ± 13)/2, то есть t = 9 или t = −4. Значение −4 не подходит: x² не может быть отрицательным. Из x² = 9 получаем x = 3 и x = −3. Проверка: 81 − 45 − 36 = 0.
Тема целиком: Уравнения (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Биквадратное уравнение и квадратное уравнение
В квадратном уравнении старшая степень переменной вторая, и корней у него не больше двух. В биквадратном — четвёртая, а после замены t = x² найденные t ещё не ответ: из каждого положительного t получаются два корня x = ±√t, поэтому корней может быть до четырёх.
Частые вопросы
Что такое биквадратное уравнение простыми словами (для 7–9 класса)?
Биквадратное уравнение — это уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. В нём переменная стоит только в четвёртой и второй степени, поэтому заменой t = x² оно сводится к квадратному уравнению at² + bt + c = 0.
Как биквадратное уравнение выглядит на практике?
Решим x⁴ − 5x² − 36 = 0. Замена t = x²: t² − 5t − 36 = 0, D = 25 + 144 = 169, t = (5 ± 13)/2, то есть t = 9 или t = −4. Значение −4 не подходит: x² не может быть отрицательным. Из x² = 9 получаем x = 3 и x = −3. Проверка: 81 − 45 − 36 = 0.
В каких заданиях ОГЭ встречается «биквадратное уравнение»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.