Определение
Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, обе части которого составлены из многочленов и дробей, причём переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби, например 5/(x − 2) = 1 или 3/x = x − 2. Главное правило при его решении: на ноль делить нельзя. Поэтому найденные корни обязательно проверяют и отбрасывают те, при которых какой-нибудь знаменатель равен нулю.
Ключевые признаки
- Дробь равна нулю — когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом нулю не равен
- Область допустимых значений — до решения выписывают запреты: все x, при которых знаменатель обращается в ноль; для 5/(x − 2) = 1 это x ≠ 2
- Пропорция крест-накрест — уравнение вида a/b = c/d заменяют на a·d = b·c: из 3/(x + 1) = 2/(x − 1) получаем 3(x − 1) = 2(x + 1), откуда x = 5
- Посторонние корни — после избавления от знаменателей может появиться корень, который обращает знаменатель в ноль; его сверяют с запретами и отбрасывают
Пример
Решим (x² − x − 6)/(x − 3) = 0. Запрет: x ≠ 3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: x² − x − 6 = 0, по теореме Виета корни 3 и −2 (сумма 1, произведение −6). Корень x = 3 обращает знаменатель в ноль и не подходит. Ответ: x = −2.
Тема целиком: Уравнения (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Дробно-рациональное уравнение и целое уравнение
В целом уравнении переменная не стоит в знаменателе, даже если дроби в нём есть: x/2 + x/3 = 5 — целое уравнение, его корень x = 6 ничем не ограничен. В дробно-рациональном уравнении x стоит в знаменателе, например 6/x = 1, поэтому появляется запрет x ≠ 0, и каждый найденный корень нужно с ним сверить.
Частые вопросы
Что такое дробно-рациональное уравнение простыми словами (для 7–9 класса)?
Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, обе части которого составлены из многочленов и дробей, причём переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби, например 5/(x − 2) = 1 или 3/x = x − 2. Главное правило при его решении: на ноль делить нельзя. Поэтому найденные корни обязательно проверяют и отбрасывают те, при которых какой-нибудь знаменатель равен нулю.
Как дробно-рациональное уравнение выглядит на практике?
Решим (x² − x − 6)/(x − 3) = 0. Запрет: x ≠ 3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: x² − x − 6 = 0, по теореме Виета корни 3 и −2 (сумма 1, произведение −6). Корень x = 3 обращает знаменатель в ноль и не подходит. Ответ: x = −2.
В каких заданиях ОГЭ встречается «дробно-рациональное уравнение»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.