Определение
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Число a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом. У квадратного уравнения может быть два корня, один корень или ни одного.
Ключевые признаки
- Условие a ≠ 0 — при a = 0 слагаемое с x² исчезает и уравнение становится линейным: 0·x² + 3x − 6 = 0 превращается в 3x − 6 = 0
- Формула корней — x = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac; по знаку D видно, сколько корней, а у приведённого уравнения (a = 1) корни часто подбирают по теореме Виета
- Неполные уравнения — если b = 0 или c = 0, дискриминант не нужен: x² − 25 = 0 даёт x = ±5, а x² − 7x = 0 после вынесения x за скобку даёт x(x − 7) = 0, то есть x = 0 или x = 7
- Разложение на множители — в записи (x − 3)(x + 5) = 0 корни видны сразу: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, поэтому x = 3 или x = −5
Пример
Уравнение x² = 4x + 12 квадратное, но сначала его приводят к виду ax² + bx + c = 0: x² − 4x − 12 = 0. Здесь a = 1, b = −4, c = −12. Подбираем корни: 6 и −2, ведь 6 + (−2) = 4 и 6·(−2) = −12. Проверка для x = 6: 6² = 36 и 4·6 + 12 = 36 — равенство верное.
Тема целиком: Уравнения — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Квадратное уравнение и линейное уравнение
В линейном уравнении переменная стоит только в первой степени, и при ненулевом коэффициенте при x корень один. В квадратном есть слагаемое с x², и корней может быть два. Смотри на вид после раскрытия скобок и приведения подобных: x(x + 2) = x² + 5 сводится к 2x = 5, то есть это линейное уравнение, хотя в записи был x².
Частые вопросы
Что такое квадратное уравнение простыми словами (для 7–9 класса)?
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Число a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом. У квадратного уравнения может быть два корня, один корень или ни одного.
Как квадратное уравнение выглядит на практике?
Уравнение x² = 4x + 12 квадратное, но сначала его приводят к виду ax² + bx + c = 0: x² − 4x − 12 = 0. Здесь a = 1, b = −4, c = −12. Подбираем корни: 6 и −2, ведь 6 + (−2) = 4 и 6·(−2) = −12. Проверка для x = 6: 6² = 36 и 4·6 + 12 = 36 — равенство верное.
В каких заданиях ОГЭ встречается «квадратное уравнение»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.