Определение
Квадратный корень — это число, квадрат которого равен данному числу a. У положительного a таких чисел два: для 49 это 7 и −7. Знак √ обозначает только неотрицательный из них — арифметический квадратный корень: √49 = 7, потому что 7 ≥ 0 и 7² = 49. Именно его имеют в виду, когда пишут √a; из отрицательного числа квадратный корень не извлекают.
Ключевые признаки
- Знак √ даёт неотрицательное число — √a ≥ 0, поэтому √(a²) = |a|: при a = −5 получаем √((−5)²) = √25 = 5, а не −5
- Корень в квадрате — (√a)² = a при a ≥ 0: (√7)² = 7; на этом свойстве держится упрощение выражений с корнями
- Корень из произведения — √(a·b) = √a·√b при a ≥ 0 и b ≥ 0: √(5²·7²) = 5·7 = 35; для суммы такого правила нет: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7
- Оценка целыми числами — если k² < n < (k + 1)², то k < √n < k + 1: из 25 < 30 < 36 следует 5 < √30 < 6
Пример
Найдём (√11 − 2)² + 4√11. Раскроем квадрат разности: (√11)² − 2·2·√11 + 2² = 11 − 4√11 + 4. Слагаемые −4√11 и +4√11 взаимно уничтожаются, остаётся 11 + 4 = 15. Весь расчёт держится на свойстве (√11)² = 11.
Тема целиком: Степени и корни — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Квадратный корень и корень уравнения
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство; он может быть и отрицательным. Запись √a — одно определённое неотрицательное число. У уравнения x² = 9 два корня, 3 и −3, а √9 — только 3, поэтому решение записывают как x = ±√9, то есть x = ±3.
Частые вопросы
Что такое квадратный корень простыми словами (для 7–9 класса)?
Квадратный корень — это число, квадрат которого равен данному числу a. У положительного a таких чисел два: для 49 это 7 и −7. Знак √ обозначает только неотрицательный из них — арифметический квадратный корень: √49 = 7, потому что 7 ≥ 0 и 7² = 49. Именно его имеют в виду, когда пишут √a; из отрицательного числа квадратный корень не извлекают.
Как квадратный корень выглядит на практике?
Найдём (√11 − 2)² + 4√11. Раскроем квадрат разности: (√11)² − 2·2·√11 + 2² = 11 − 4√11 + 4. Слагаемые −4√11 и +4√11 взаимно уничтожаются, остаётся 11 + 4 = 15. Весь расчёт держится на свойстве (√11)² = 11.
В каких заданиях ОГЭ встречается «квадратный корень»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.