Определение
Числовая последовательность — это числа, записанные по порядку так, что у каждого есть свой номер: первый, второй, третий и так далее. Число с номером n называют n-м членом последовательности и обозначают aₙ, первый член — a₁. Последовательность задают формулой n-го члена или правилом, по которому следующий член получается из предыдущего.
Ключевые признаки
- Номер и член — номер n всегда натуральное число 1, 2, 3, …, а сам член может быть любым числом, в том числе отрицательным или дробным; a₅ — это пятый член, а не число 5
- Формула n-го члена — член вычисляют сразу по номеру: если aₙ = 3n − 1, то a₁ = 2, a₁₀ = 3 · 10 − 1 = 29
- Рекуррентная формула — следующий член выражают через предыдущий: a₁ = 4, aₙ₊₁ = aₙ + 3 даёт 4, 7, 10, 13, 16; от первого члена до пятого — четыре шага, а не пять
- Прогрессии как частный случай — в арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической умножают на одно и то же число q; у многих последовательностей нет ни того, ни другого правила
Пример
Последовательность задана формулой aₙ = n² − 2n. Её первые члены: a₁ = 1 − 2 = −1, a₂ = 4 − 4 = 0, a₃ = 9 − 6 = 3, a₄ = 16 − 8 = 8. Разности соседних членов 1, 3, 5 разные, поэтому это не арифметическая прогрессия. Геометрической она тоже быть не может: в ней есть член, равный нулю.
Тема целиком: Числовые последовательности и прогрессии — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Числовая последовательность и арифметическая прогрессия
Любая прогрессия — последовательность, но не любая последовательность — прогрессия. У арифметической прогрессии разность соседних членов всегда одна и та же, а у последовательности квадратов 1, 4, 9, 16 разности 3, 5, 7 меняются, поэтому формула aₙ = a₁ + d(n − 1) к ней неприменима: её члены считают по её собственному правилу aₙ = n².
Частые вопросы
Что такое числовая последовательность простыми словами (для 7–9 класса)?
Числовая последовательность — это числа, записанные по порядку так, что у каждого есть свой номер: первый, второй, третий и так далее. Число с номером n называют n-м членом последовательности и обозначают aₙ, первый член — a₁. Последовательность задают формулой n-го члена или правилом, по которому следующий член получается из предыдущего.
Как числовая последовательность выглядит на практике?
Последовательность задана формулой aₙ = n² − 2n. Её первые члены: a₁ = 1 − 2 = −1, a₂ = 4 − 4 = 0, a₃ = 9 − 6 = 3, a₄ = 16 − 8 = 8. Разности соседних членов 1, 3, 5 разные, поэтому это не арифметическая прогрессия. Геометрической она тоже быть не может: в ней есть член, равный нулю.
В каких заданиях ОГЭ встречается «числовая последовательность»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.