Определение
Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — заданные числа. Её график — прямая линия. Число k называют угловым коэффициентом: от него зависит наклон прямой. Число b показывает, в какой точке прямая пересекает ось Oy.
Ключевые признаки
- Формула — y = kx + b: переменная x входит только в первой степени, её нет в знаменателе, под корнем или под модулем; поэтому y = 3x − 1 линейная функция, а y = x² и y = 3/x — нет
- Угловой коэффициент k — задаёт наклон: при k > 0 функция возрастает и прямая идёт слева направо вверх, при k < 0 убывает и идёт вниз, при k = 0 прямая горизонтальна (y = b); чем больше модуль k, тем круче прямая
- Число b — прямая проходит через точку (0; b): при b > 0 она пересекает ось Oy выше начала координат, при b < 0 — ниже, при b = 0 проходит через начало координат
- Параллельность — прямые с одинаковым k и разными b параллельны, а прямые с разными k пересекаются в одной точке
Пример
Функция y = −2x + 3. Здесь k = −2 < 0, значит, функция убывает и прямая идёт слева направо вниз; b = 3, значит, прямая пересекает ось Oy в точке (0; 3), выше нуля. Для построения хватит двух точек: при x = 0 получаем y = 3, при x = 2 получаем y = −2 · 2 + 3 = −1. Проводим прямую через (0; 3) и (2; −1).
Тема целиком: Графики функций — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Линейная функция и прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность y = kx (k ≠ 0) — частный случай линейной функции при b = 0, и её график обязательно проходит через начало координат. Функция y = 2x + 1 линейная, но не прямая пропорциональность: при x = 0 она равна 1, а не 0, и отношение y : x у неё не постоянно.
Частые вопросы
Что такое линейная функция простыми словами (для 7–9 класса)?
Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — заданные числа. Её график — прямая линия. Число k называют угловым коэффициентом: от него зависит наклон прямой. Число b показывает, в какой точке прямая пересекает ось Oy.
Как линейная функция выглядит на практике?
Функция y = −2x + 3. Здесь k = −2 < 0, значит, функция убывает и прямая идёт слева направо вниз; b = 3, значит, прямая пересекает ось Oy в точке (0; 3), выше нуля. Для построения хватит двух точек: при x = 0 получаем y = 3, при x = 2 получаем y = −2 · 2 + 3 = −1. Проводим прямую через (0; 3) и (2; −1).
В каких заданиях ОГЭ встречается «линейная функция»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.