Определение
Неравенство с переменной — это неравенство, в котором есть буква-переменная, например 3x − 1 > 5 или m³ < m. Пока вместо буквы не подставлено число, оно ни верное, ни неверное. Решение неравенства — значение переменной, при котором получается верное числовое неравенство; решить неравенство — найти все его решения.
Ключевые признаки
- Верность зависит от значения — 3x − 1 > 5 при x = 4 даёт 11 > 5 (верно), а при x = 1 даёт 2 > 5 (неверно)
- Решений обычно бесконечно много — поэтому ответ записывают промежутком: 3x − 1 > 5 равносильно x > 2, то есть (2; +∞)
- Все числа или ни одного — x² + 1 > 0 верно при любом x, а x² < −1 не верно ни при каком, ведь квадрат числа не бывает отрицательным
- Проверка при условии — если дано m < 0, неравенство должно выполняться при каждом таком m: m³ < m верно при m = −2 (−8 < −2), но неверно при m = −0,5 (−0,125 > −0,5), поэтому пробуют и целое, и дробное число
Пример
Проверим числа −2, 1 и −3 для неравенства x² + 3x < 0. При x = −2: 4 − 6 = −2 < 0 — верно, −2 решение. При x = 1: 1 + 3 = 4 < 0 — неверно. При x = −3: 9 − 9 = 0 < 0 — неверно, знак строгий. Все решения — числа между −3 и 0, то есть интервал (−3; 0).
Тема целиком: Числовые неравенства, координатная прямая — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Неравенство с переменной и числовое неравенство
Числовое неравенство записано одними числами, например 3 · 4 − 1 > 5, и про него сразу ясно, верно оно или нет. Неравенство с переменной 3x − 1 > 5 становится числовым только после подстановки числа вместо x. Про него нельзя сразу сказать «верно» или «неверно»: подстановкой проверяют лишь отдельные числа, а решить его — значит найти все подходящие x; ответ x > 2 содержит бесконечно много чисел.
Частые вопросы
Что такое неравенство с переменной простыми словами (для 7–9 класса)?
Неравенство с переменной — это неравенство, в котором есть буква-переменная, например 3x − 1 > 5 или m³ < m. Пока вместо буквы не подставлено число, оно ни верное, ни неверное. Решение неравенства — значение переменной, при котором получается верное числовое неравенство; решить неравенство — найти все его решения.
Как неравенство с переменной выглядит на практике?
Проверим числа −2, 1 и −3 для неравенства x² + 3x < 0. При x = −2: 4 − 6 = −2 < 0 — верно, −2 решение. При x = 1: 1 + 3 = 4 < 0 — неверно. При x = −3: 9 − 9 = 0 < 0 — неверно, знак строгий. Все решения — числа между −3 и 0, то есть интервал (−3; 0).
В каких заданиях ОГЭ встречается «неравенство с переменной»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.