Что такое линейное неравенство простыми словами: определение, признаки и пример

Определение

Линейное неравенство — это неравенство вида ax + b > 0 (или со знаками <, ≥, ≤), где x — переменная, а a и b — числа. К этому виду переносом слагаемых сводятся неравенства, в которых переменная стоит только в первой степени. При a ≠ 0 его решения заполняют луч на координатной прямой: например, x ≥ 4, то есть [4; +∞).

Ключевые признаки

• Граница −b/a — при a > 0 решения ax + b > 0 — это x > −b/a, при a < 0 — x < −b/a: у 4x − 6 > 0 граница 1,5 и ответ (1,5; +∞)
• Смена знака при делении на отрицательное — −5x ≥ 15 даёт x ≤ −3; перенос слагаемых и деление на положительное число знак неравенства не меняют
• Скобка по знаку — строгий знак даёт у границы круглую скобку, нестрогий — квадратную: x < 1,5 записывают как (−∞; 1,5), а x ≥ 1,5 — как [1,5; +∞)
• Особый случай a = 0 — неравенство 0 · x < 3 верно при любом x, а 0 · x > 3 не верно ни при каком

Пример

Решим 7 − 3x > 2x − 3. Переносим слагаемые с x влево, числа вправо: −3x − 2x > −3 − 7, то есть −5x > −10. Делим на −5 и меняем знак: x < 2. Ответ: (−∞; 2), число 2 не входит. Проверка: x = 0 даёт 7 > −3 — верно, x = 3 даёт −2 > 3 — неверно.

Тема целиком: Уравнения — теория, разобранные задания и тренажёр.