Определение
Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d, то же самое в виде дробей a/b = c/d (числа b и d не равны нулю). Числа a и d называют крайними членами пропорции, а b и c — средними. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Ключевые признаки
- Члены пропорции — в записи a : b = c : d числа a и d крайние, b и c средние; в записи a/b = c/d крайние — числитель первой дроби и знаменатель второй
- Основное свойство — a · d = b · c: произведение крайних членов равно произведению средних; отсюда правило «крест-накрест» для уравнений вида a/b = c/d
- Поиск неизвестного члена — неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний: из x : 6 = 10 : 15 получаем x = 6 · 10 : 15 = 4
- Только две дроби — крест-накрест умножают, когда в каждой части равенства стоит ровно одна дробь; если в одной части сумма дробей, её сначала приводят к общему знаменателю
Пример
Пропорция 3 : 4 = 15 : 20 верна: 3 · 20 = 60 и 4 · 15 = 60. Уравнение 3/(x − 2) = 5/(x + 2) — тоже пропорция. Знаменатели не должны быть нулём, поэтому x ≠ 2 и x ≠ −2. Крест-накрест: 3(x + 2) = 5(x − 2), 3x + 6 = 5x − 10, 2x = 16, x = 8. Проверка: 3/6 = 5/10 = 0,5.
Тема целиком: Уравнения (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Пропорция и отношение
Отношение — это одно частное двух чисел, например 3 : 4, а пропорция — равенство двух отношений: 3 : 4 = 15 : 20. У одного отношения нет второй половины, поэтому и свойства a · d = b · c у него нет: оно появляется только тогда, когда два отношения приравнены.
Частые вопросы
Что такое пропорция простыми словами (для 7–9 класса)?
Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d, то же самое в виде дробей a/b = c/d (числа b и d не равны нулю). Числа a и d называют крайними членами пропорции, а b и c — средними. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Как пропорция выглядит на практике?
Пропорция 3 : 4 = 15 : 20 верна: 3 · 20 = 60 и 4 · 15 = 60. Уравнение 3/(x − 2) = 5/(x + 2) — тоже пропорция. Знаменатели не должны быть нулём, поэтому x ≠ 2 и x ≠ −2. Крест-накрест: 3(x + 2) = 5(x − 2), 3x + 6 = 5x − 10, 2x = 16, x = 8. Проверка: 3/6 = 5/10 = 0,5.
В каких заданиях ОГЭ встречается «пропорция»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.