Определение
Система неравенств — это несколько неравенств с одной и той же переменной, которые должны выполняться одновременно. Их записывают друг под другом и объединяют фигурной скобкой. Решение системы — такое значение переменной, при котором верно каждое её неравенство. Чтобы решить систему, решают каждое неравенство отдельно, а в ответ берут пересечение полученных промежутков — их общую часть.
Ключевые признаки
- Фигурная скобка значит «и» — число подходит, только если оно удовлетворяет всем неравенствам сразу; подходить одному из них мало
- Пересечение промежутков — решения отдельных неравенств отмечают штриховкой на одной координатной прямой и берут только тот участок, где штриховки накладываются
- Может не иметь решений — если промежутки не перекрываются, общей части нет: у системы x > 5 и x < 2 решений нет
- Двойное неравенство — запись −1 < x ≤ 4 — это краткая форма системы x > −1 и x ≤ 4, её решение — промежуток (−1; 4]
Пример
Решим систему из неравенств 2x − 6 < 0 и x + 1 ≥ −2. Из первого получаем x < 3, из второго x ≥ −3. Общая часть на прямой — от −3 до 3, причём −3 входит, а 3 нет. Ответ: [−3; 3). Проверка: число 0 подходит обоим неравенствам, а число 5 — только второму, поэтому 5 решением системы не является.
Тема целиком: Неравенства, системы неравенств — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Система неравенств и совокупность неравенств
Система (фигурная скобка) требует, чтобы выполнялись все неравенства сразу, поэтому ответ — пересечение промежутков. В совокупности (квадратная скобка) достаточно одного, и ответ — объединение со знаком ∪. Объединение получается, например, у квадратного неравенства x² − 4 ≥ 0: x ≤ −2 или x ≥ 2, то есть (−∞; −2] ∪ [2; +∞); пересекать эти лучи нельзя, общих точек у них нет.
Частые вопросы
Что такое система неравенств простыми словами (для 7–9 класса)?
Система неравенств — это несколько неравенств с одной и той же переменной, которые должны выполняться одновременно. Их записывают друг под другом и объединяют фигурной скобкой. Решение системы — такое значение переменной, при котором верно каждое её неравенство. Чтобы решить систему, решают каждое неравенство отдельно, а в ответ берут пересечение полученных промежутков — их общую часть.
Как система неравенств выглядит на практике?
Решим систему из неравенств 2x − 6 < 0 и x + 1 ≥ −2. Из первого получаем x < 3, из второго x ≥ −3. Общая часть на прямой — от −3 до 3, причём −3 входит, а 3 нет. Ответ: [−3; 3). Проверка: число 0 подходит обоим неравенствам, а число 5 — только второму, поэтому 5 решением системы не является.
В каких заданиях ОГЭ встречается «система неравенств»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.