Определение
Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или со знаками <, ≥, ≤), где x — переменная, a, b, c — числа и a ≠ 0. Решить его — найти все значения x, при которых оно верно. Поэтому ответ квадратного неравенства — обычно промежуток или объединение двух промежутков, а не два отдельных числа, как у квадратного уравнения.
Ключевые признаки
- Сначала корни — решают уравнение ax² + bx + c = 0 через дискриминант D = b² − 4ac или по теореме Виета; корни служат границами промежутков. Если D < 0, парабола не пересекает ось x, и неравенство верно либо при всех x, либо ни при одном
- Направление ветвей — при a > 0 ветви параболы y = ax² + bx + c направлены вверх, при a < 0 — вниз; во втором случае удобно умножить обе части на −1, поменяв знак неравенства на противоположный
- Между или вне корней — если корней два и a > 0, то знаки «<» и «≤» дают промежуток между корнями, а знаки «>» и «≥» — два луча вне корней, соединённые знаком объединения ∪
- Скобки по знаку — при строгом знаке (<, >) корни в ответ не входят и скобка круглая, при нестрогом (≤, ≥) входят и скобка квадратная; у знака ∞ скобка всегда круглая
Пример
Решим x² − 2x − 8 ≤ 0. Корни уравнения x² − 2x − 8 = 0 по теореме Виета: x₁ = −2, x₂ = 4 (сумма 2, произведение −8). Коэффициент a = 1 > 0, ветви параболы вверх, ниже оси она лежит между корнями. Знак нестрогий, поэтому концы входят. Ответ: [−2; 4].
Тема целиком: Неравенства, системы неравенств — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Квадратное неравенство и квадратное уравнение
У уравнения x² − 2x − 8 = 0 ответ — два числа: −2 и 4. У неравенства x² − 2x − 8 ≤ 0 с той же левой частью ответ — весь отрезок [−2; 4], в него входят и 0, и 3,5. Корни уравнения для неравенства — только границы промежутка, и записать в ответ «−2; 4» — ошибка.
Частые вопросы
Что такое квадратное неравенство простыми словами (для 7–9 класса)?
Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или со знаками <, ≥, ≤), где x — переменная, a, b, c — числа и a ≠ 0. Решить его — найти все значения x, при которых оно верно. Поэтому ответ квадратного неравенства — обычно промежуток или объединение двух промежутков, а не два отдельных числа, как у квадратного уравнения.
Как квадратное неравенство выглядит на практике?
Решим x² − 2x − 8 ≤ 0. Корни уравнения x² − 2x − 8 = 0 по теореме Виета: x₁ = −2, x₂ = 4 (сумма 2, произведение −8). Коэффициент a = 1 > 0, ветви параболы вверх, ниже оси она лежит между корнями. Знак нестрогий, поэтому концы входят. Ответ: [−2; 4].
В каких заданиях ОГЭ встречается «квадратное неравенство»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.