Что такое теорема Виета простыми словами: определение, признаки и пример

Определение

Теорема Виета — это утверждение о связи корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 (коэффициент при x² равен 1) имеет корни x₁ и x₂, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену: x₁ + x₂ = −p, x₁·x₂ = q.

Ключевые признаки

• Формулы — x₁ + x₂ = −p и x₁·x₂ = q для x² + px + q = 0; у суммы знак меняется, у произведения нет: для x² − 8x + 15 = 0 сумма корней 8, произведение 15
• Для любого первого коэффициента — если при x² стоит a ≠ 1, уравнение ax² + bx + c = 0 делят на a, и тогда x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a
• Только когда корни есть — у x² − 4x + 7 = 0 дискриминант D = 16 − 28 < 0, корней нет, хотя «сумму 4 и произведение 7» формально записать можно
• Подбор корней — ищут два числа с нужными произведением и суммой, удобнее всего при целых корнях; найденные числа проверяют подстановкой, а если подбор не идёт, считают через дискриминант

Пример

Решим x² − 3x − 28 = 0. Здесь p = −3, q = −28, значит x₁ + x₂ = 3, x₁·x₂ = −28. Произведение отрицательное — корни разных знаков. Подходят 7 и −4: 7 + (−4) = 3 и 7·(−4) = −28. Проверка: 7² − 3·7 − 28 = 49 − 21 − 28 = 0. Если просят больший корень, ответ 7.

Тема целиком: Уравнения — теория, разобранные задания и тренажёр.