Определение
Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q: bₙ₊₁ = bₙ·q. Число q называют знаменателем прогрессии. Первый член и знаменатель не равны нулю (b₁ ≠ 0, q ≠ 0), поэтому нулей среди членов не бывает.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁ = −2, bₙ₊₁ = 3·bₙ. Найдите b₄.</p>
- <p>Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁ = −5, bₙ₊₁ = 3·bₙ. Найдите b₅.</p>
- <p>Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁ = −3, bₙ₊₁ = (−2)·bₙ. Найдите b₄.</p>
- <p>Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁ = 2, bₙ₊₁ = (−1)·bₙ. Найдите b₅.</p>
Ключевые признаки
- Формула n-го члена — bₙ = b₁·qⁿ⁻¹: первый член умножают на знаменатель n − 1 раз, поэтому показатель степени на единицу меньше номера
- Знаменатель ищут делением — q = bₙ₊₁ / bₙ: следующий член делят на предыдущий; это множитель, а не знаменатель дроби: у ряда 48; 12; 3 знаменатель q = 12 / 48 = 0,25
- Отрицательный q — знаки членов чередуются: при b₁ = 1 и q = −3 получаем 1; −3; 9; −27; 81
- Рост и убывание в разы — при b₁ > 0 и q > 1 члены растут всё быстрее (2; 6; 18; 54), а при 0 < q < 1 уменьшаются, приближаясь к нулю, но никогда его не достигая
Пример
Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: −3; 6; −12. Знаменатель q = 6 / (−3) = −2, проверка: −12 / 6 = −2. Пятый член: b₅ = b₁·q⁴ = −3·(−2)⁴ = −3·16 = −48. Сверим цепочкой умножений: −3; 6; −12; 24; −48.
Тема целиком: Числовые последовательности и прогрессии — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Геометрическая прогрессия и арифметическая прогрессия
В геометрической прогрессии каждый член умножают на q, в арифметической — к нему прибавляют d. Поэтому q ищут делением соседних членов, а d — вычитанием. Ряд 2; 4; 8 — геометрическая прогрессия (q = 2), ряд 2; 4; 6 — арифметическая (d = 2): первые два члена одинаковы, а дальше пути расходятся.
Частые вопросы
Что такое геометрическая прогрессия простыми словами (для 7–9 класса)?
Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q: bₙ₊₁ = bₙ·q. Число q называют знаменателем прогрессии. Первый член и знаменатель не равны нулю (b₁ ≠ 0, q ≠ 0), поэтому нулей среди членов не бывает.
Как геометрическая прогрессия выглядит на практике?
Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: −3; 6; −12. Знаменатель q = 6 / (−3) = −2, проверка: −12 / 6 = −2. Пятый член: b₅ = b₁·q⁴ = −3·(−2)⁴ = −3·16 = −48. Сверим цепочкой умножений: −3; 6; −12; 24; −48.
В каких заданиях ОГЭ встречается «геометрическая прогрессия»?
Этот термин встречается в заданиях №14 — потренируйся в тренажёре Совелия.