Определение
Гипербола — это график обратной пропорциональности y = k/x, где k ≠ 0. Она состоит из двух отдельных ветвей, которые не пересекают оси координат: значение x = 0 не входит в область определения, а значение y = 0 функция не принимает.
Ключевые признаки
- Расположение ветвей — при k > 0 ветви лежат в I и III координатных четвертях, при k < 0 — во II и IV
- Асимптоты — ветви неограниченно приближаются к осям Ox и Oy, но не пересекают их; прямая y = 0 — горизонтальная асимптота
- Монотонность — при k > 0 функция убывает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0, при k < 0 — возрастает на каждом из них
- Симметрия — ветви симметричны относительно начала координат: если точка (x; y) лежит на гиперболе, то и точка (−x; −y) тоже
Пример
График y = 6/x проходит через точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), а также (−2; −3) и (−3; −2): k = 6 > 0, ветви в I и III четвертях. В каждой точке x · y = 6. Прямая y = 3 пересекает этот график ровно в одной точке (2; 3), а прямая y = 0 не пересекает его вовсе.
Тема целиком: Графики функций — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Гипербола и парабола
Названия похожи, но графики разные. Парабола y = ax² + bx + c — одна сплошная линия с вершиной, в которой функция принимает наименьшее или наибольшее значение, и с вертикальной осью симметрии. Гипербола y = k/x — две отдельные ветви, разделённые осью Oy и прижатые к осям координат; вершины у неё нет, и наибольшего или наименьшего значения функция y = k/x не имеет.
Частые вопросы
Что такое гипербола простыми словами (для 7–9 класса)?
Гипербола — это график обратной пропорциональности y = k/x, где k ≠ 0. Она состоит из двух отдельных ветвей, которые не пересекают оси координат: значение x = 0 не входит в область определения, а значение y = 0 функция не принимает.
Как гипербола выглядит на практике?
График y = 6/x проходит через точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), а также (−2; −3) и (−3; −2): k = 6 > 0, ветви в I и III четвертях. В каждой точке x · y = 6. Прямая y = 3 пересекает этот график ровно в одной точке (2; 3), а прямая y = 0 не пересекает его вовсе.
В каких заданиях ОГЭ встречается «гипербола»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.