Определение
Линейное уравнение — это уравнение с одной переменной вида ax = b, где x — переменная, а a и b — числа. К этому виду переносом слагаемых и приведением подобных сводятся уравнения, в которых переменная стоит только в первой степени — не в квадрате, не в знаменателе и не под корнем.
Ключевые признаки
- Переменная только в первой степени — 2x + 1 = 7 линейное, а x² = 4, 1/x = 2 и √x = 3 — нет; смотрят на вид после раскрытия скобок и приведения подобных: x(x + 2) = x² + 5 сводится к линейному 2x = 5
- Перенос со сменой знака — слагаемые с x собирают в одной части, числа — в другой; при переносе через знак «=» слагаемое меняет знак на противоположный
- Формула корня x = b/a — при a ≠ 0 корень единственный; делят на коэффициент вместе с его знаком: −3x = 12, x = 12 : (−3) = −4
- Особый случай a = 0 — уравнение 0 · x = 5 корней не имеет, а 0 · x = 0 верно при любом x
Пример
Решим 7x − 9 = 3x + 11. Переносим 3x влево, а −9 вправо, меняя их знаки: 7x − 3x = 11 + 9, то есть 4x = 20. Делим на коэффициент при x: x = 20 : 4 = 5. Проверка: 7 · 5 − 9 = 26 и 3 · 5 + 11 = 26 — равенство верное.
Тема целиком: Уравнения — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Линейное уравнение и линейное неравенство
Линейное неравенство решают теми же шагами, но ответ у него — не одно число, а промежуток: 2x < 6 даёт x < 3, то есть (−∞; 3). При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется: −2x < 6 даёт x > −3, а в уравнении −2x = 6 получается просто x = −3.
Частые вопросы
Что такое линейное уравнение простыми словами (для 7–9 класса)?
Линейное уравнение — это уравнение с одной переменной вида ax = b, где x — переменная, а a и b — числа. К этому виду переносом слагаемых и приведением подобных сводятся уравнения, в которых переменная стоит только в первой степени — не в квадрате, не в знаменателе и не под корнем.
Как линейное уравнение выглядит на практике?
Решим 7x − 9 = 3x + 11. Переносим 3x влево, а −9 вправо, меняя их знаки: 7x − 3x = 11 + 9, то есть 4x = 20. Делим на коэффициент при x: x = 20 : 4 = 5. Проверка: 7 · 5 − 9 = 26 и 3 · 5 + 11 = 26 — равенство верное.
В каких заданиях ОГЭ встречается «линейное уравнение»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.