Что такое показатель степени простыми словами: определение, признаки и пример

Определение

Показатель степени — это число, которое в записи aⁿ стоит справа вверху и при натуральном n показывает, сколько одинаковых множителей a перемножают: в 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 показатель 4, основание 3. Показатель бывает и нулём, и отрицательным числом: при a ≠ 0 a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ, например 2⁰ = 1 (а не 0) и 2⁻³ = 1/8. Вид уравнения узнают по наибольшему показателю переменной, но только после раскрытия скобок и приведения подобных: x только в первой степени — линейное, старший показатель 2 — квадратное, переменная только в степенях 4 и 2 (и ещё число) — биквадратное.

Ключевые признаки

• Число множителей — aⁿ = a · a · … · a, где n множителей; показатель 1 не пишут: x = x¹, поэтому в 7x переменная стоит в первой степени
• Действует на ближайшее — в 2x² в квадрат возводят только x, а в (2x)² — всё произведение: при x = 3 получается 18 и 36; так же −3² = −9, а (−3)² = 9
• Чётный показатель скрывает знак — x² = 49 имеет два корня, 7 и −7, а x³ = −27 — один корень −3, ведь (−3)³ = −27
• Вид уравнения — смотрят на наибольший показатель после раскрытия скобок: (x + 1)² = x² + 7 даёт x² + 2x + 1 = x² + 7, то есть линейное уравнение 2x = 6 с корнем x = 3

Пример

Решим 3x² = 48. Коэффициент 3 говорит, что x² утроен, а показатель 2 — что x умножен сам на себя. Сначала делим на коэффициент: x² = 16. Показатель чётный, поэтому корней два: x = 4 и x = −4. Проверка: 3 · (−4)² = 3 · 16 = 48. Ход «x = 48 : 3 : 2 = 8» ошибочен: показатель — не множитель, на него не делят.

Тема целиком: Уравнения — теория, разобранные задания и тренажёр.