Что такое полное квадратное уравнение простыми словами: определение, признаки и пример

Определение

Полное квадратное уравнение — это уравнение ax² + bx + c = 0, в котором все три коэффициента a, b и c не равны нулю, например 4x² − 3x − 1 = 0. В нём есть все три слагаемых: с x², с x и свободный член, поэтому приёмы для неполных уравнений не подходят, и корни ищут через дискриминант или подбирают по теореме Виета.

Ключевые признаки

• Три ненулевых коэффициента — x² − 6x + 8 = 0 полное, а x² − 6x = 0 и x² − 8 = 0 уже неполные: в одном нет свободного члена, в другом нет слагаемого с x
• Формула корней — x = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac; при D > 0 корней два, при D = 0 один, при D < 0 корней нет
• Сначала стандартный вид — x(x + 3) = 10 тоже полное квадратное уравнение, но это видно только после раскрытия скобок и переноса: x² + 3x − 10 = 0
• Разные знаки a и c — тогда −4ac > 0 и дискриминант заведомо положителен: у 5x² + 2x − 1 = 0 два корня, это ясно ещё до вычислений

Пример

Решим 2x² + 3x − 5 = 0. Здесь a = 2, b = 3, c = −5, D = 3² − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49, √D = 7. Корни: x = (−3 ± 7) / 4, то есть x₁ = 1 и x₂ = −2,5. Проверка для x = −2,5: 2 · 6,25 − 7,5 − 5 = 0.

Тема целиком: Уравнения — теория, разобранные задания и тренажёр.