Определение
Накрест лежащие углы — это пара углов, которая получается, когда две прямые пересечены третьей прямой — секущей: один угол лежит при первой прямой, другой — при второй, оба находятся между этими двумя прямыми и по разные стороны от секущей. Если прямые параллельны, накрест лежащие углы равны; и наоборот, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Любой прямоугольник является ромбом.</li><li>При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.</li><li>В любой треугольник можно вписать окружность.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.</li><li>При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.</li><li>В любой четырёхугольник можно вписать окружность.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.</li><li>Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.</li><li>Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.</li><li>Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.</li><li>Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
Ключевые признаки
- Положение — один угол при первой прямой, другой при второй; оба лежат между прямыми, но по разные стороны от секущей; при параллельных прямых вместе с секущей они напоминают букву Z
- Свойство параллельных прямых — если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны
- Признак параллельности — если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны; так доказывают, что стороны четырёхугольника параллельны
- Где искать в фигурах — диагональ параллелограмма или трапеции образует с параллельными сторонами накрест лежащие углы; секущей бывает и биссектриса AK угла A параллелограмма ABCD, где K лежит на стороне BC: ∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие при BC ∥ AD, а ∠KAD = ∠BAK, поэтому она отсекает равнобедренный треугольник ABK
Пример
В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, диагональ AC — секущая. Углы BCA и CAD лежат между основаниями по разные стороны от AC — это накрест лежащие углы, поэтому они равны: если ∠BCA = 28°, то и ∠CAD = 28°. По той же причине вторая диагональ BD даёт равные углы CBD и BDA.
Тема целиком: Геометрия: доказательство (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Накрест лежащие углы и соответственные углы
Накрест лежащие углы оба находятся между прямыми и по разные стороны от секущей. Соответственные лежат по одну сторону от секущей при разных прямых, причём один между прямыми, а другой снаружи; при параллельных прямых они тоже равны. А односторонние углы — оба между прямыми и по одну сторону от секущей — при параллельных прямых в сумме дают 180°, поэтому при параллельных прямых они равны, только если секущая перпендикулярна прямым и оба угла прямые.
Частые вопросы
Что такое накрест лежащие углы простыми словами (для 7–9 класса)?
Накрест лежащие углы — это пара углов, которая получается, когда две прямые пересечены третьей прямой — секущей: один угол лежит при первой прямой, другой — при второй, оба находятся между этими двумя прямыми и по разные стороны от секущей. Если прямые параллельны, накрест лежащие углы равны; и наоборот, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Как накрест лежащие углы выглядит на практике?
В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, диагональ AC — секущая. Углы BCA и CAD лежат между основаниями по разные стороны от AC — это накрест лежащие углы, поэтому они равны: если ∠BCA = 28°, то и ∠CAD = 28°. По той же причине вторая диагональ BD даёт равные углы CBD и BDA.
В каких заданиях ОГЭ встречается «накрест лежащие углы»?
Этот термин встречается в заданиях №19 — потренируйся в тренажёре Совелия.