Определение
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Все его углы тоже равны, и каждый из них равен 60°. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного: основанием в нём можно считать любую сторону. Его также называют правильным треугольником.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
Какие из следующих утверждений верны?
- Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
- Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон.
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
- Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
- При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
- Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
- Все углы ромба равны.
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
- Сумма смежных углов равна 180°.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
- Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
- Любые два прямоугольных треугольника подобны.
- Любая хорда окружности больше её радиуса.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Ключевые признаки
- Углы по 60° — 180° : 3 = 60°; верно и обратное: если все углы треугольника равны, то он равносторонний
- Высота и площадь — h = a√3/2 и S = a²√3/4, где a — сторона
- Три отрезка в одном — из любой вершины медиана, биссектриса и высота совпадают; а раз все стороны равны, то и все три высоты равны между собой (каждая равна a√3/2), как и все медианы и все биссектрисы
- Общий центр — центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, а радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной: R = 2r
Пример
Сторона равностороннего треугольника равна 6. Высота к стороне — одновременно медиана, она делит сторону на отрезки по 3 и служит катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой 6: h = √(6² − 3²) = √27 = 3√3. Площадь S = ½ · 6 · 3√3 = 9√3; по формуле 6² · √3 / 4 = 36√3 / 4 = 9√3 — ответ тот же.
Тема целиком: Геометрия: треугольники — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Равносторонний треугольник и равнобедренный треугольник
Равнобедренному треугольнику хватает двух равных сторон, равностороннему нужны все три. Поэтому любой равносторонний треугольник равнобедренный, но не наоборот: у равнобедренного треугольника с углом 40° при вершине углы при основании по 70°, и равных сторон у него только две. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают лишь у отрезка, проведённого к основанию, а в равностороннем — из каждой вершины.
Частые вопросы
Что такое равносторонний треугольник простыми словами (для 7–9 класса)?
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Все его углы тоже равны, и каждый из них равен 60°. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного: основанием в нём можно считать любую сторону. Его также называют правильным треугольником.
Как равносторонний треугольник выглядит на практике?
Сторона равностороннего треугольника равна 6. Высота к стороне — одновременно медиана, она делит сторону на отрезки по 3 и служит катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой 6: h = √(6² − 3²) = √27 = 3√3. Площадь S = ½ · 6 · 3√3 = 9√3; по формуле 6² · √3 / 4 = 36√3 / 4 = 9√3 — ответ тот же.
В каких заданиях ОГЭ встречается «равносторонний треугольник»?
Этот термин встречается в заданиях №19 — потренируйся в тренажёре Совелия.