Определение
Совокупность неравенств — это несколько неравенств с одной переменной, связанных словом «или»; их пишут друг под другом и объединяют квадратной скобкой. Решение совокупности — значение переменной, при котором верно хотя бы одно из неравенств. Поэтому ответ — объединение решений всех неравенств, его записывают со знаком ∪.
Ключевые признаки
- Квадратная скобка значит «или» — числу достаточно подойти хотя бы одному неравенству, подходить всем сразу не обязательно
- Объединение промежутков — решения отмечают на одной прямой и берут все заштрихованные участки: x < −1 или x > 3 дают (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
- Вложенный промежуток поглощается — если решение одного неравенства лежит внутри решения другого, ответ — больший промежуток: x > 1 или x > 4 даёт (1; +∞)
- Ответ вне корней — квадратное неравенство (x − 1)(x + 4) > 0 равносильно совокупности x < −4 или x > 1, поэтому его ответ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)
Пример
Решим совокупность: 2x − 1 ≤ −5 или 3x > 6. Из первого неравенства 2x ≤ −4, x ≤ −2; из второго x > 2. Ответ: (−∞; −2] ∪ (2; +∞). Проверка: −3 подходит первому неравенству — это решение; 0 не подходит ни одному; 2 тоже не решение: 2 · 2 − 1 = 3, а 3 ≤ −5 неверно, и 3 · 2 = 6, а 6 > 6 неверно.
Тема целиком: Неравенства, системы неравенств — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Совокупность неравенств и система неравенств
Система (фигурная скобка) требует всех неравенств сразу, и её ответ — пересечение промежутков. Совокупность (квадратная скобка) требует хотя бы одного, и её ответ — объединение. Разница видна на паре x ≥ −1 и x ≤ 3: система даёт отрезок [−1; 3], а совокупность — все числа, ведь для любого числа верно хотя бы одно из двух неравенств.
Частые вопросы
Что такое совокупность неравенств простыми словами (для 7–9 класса)?
Совокупность неравенств — это несколько неравенств с одной переменной, связанных словом «или»; их пишут друг под другом и объединяют квадратной скобкой. Решение совокупности — значение переменной, при котором верно хотя бы одно из неравенств. Поэтому ответ — объединение решений всех неравенств, его записывают со знаком ∪.
Как совокупность неравенств выглядит на практике?
Решим совокупность: 2x − 1 ≤ −5 или 3x > 6. Из первого неравенства 2x ≤ −4, x ≤ −2; из второго x > 2. Ответ: (−∞; −2] ∪ (2; +∞). Проверка: −3 подходит первому неравенству — это решение; 0 не подходит ни одному; 2 тоже не решение: 2 · 2 − 1 = 3, а 3 ≤ −5 неверно, и 3 · 2 = 6, а 6 > 6 неверно.
В каких заданиях ОГЭ встречается «совокупность неравенств»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.