Определение
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: если M — середина AB, а N — середина BC треугольника ABC, то MN ∥ AC и MN = ½ · AC.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.</li><li>Около любого четырёхугольника можно описать окружность.</li><li>Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>В тупоугольном треугольнике все углы тупые.</li><li>Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.</li><li>Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>В тупоугольном треугольнике все углы тупые.</li><li>Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.</li><li>Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Диагонали трапеции точкой пересечения делятся пополам.</li><li>Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.</li><li>Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
Ключевые признаки
- Формула — MN = AC / 2: средняя линия вдвое короче той стороны, которой она параллельна, и не имеет с этой стороной общих точек
- Их три — в каждом треугольнике три средние линии; вместе они делят его на четыре равных треугольника, а периметр треугольника из средних линий вдвое меньше периметра исходного
- Отсекает подобный треугольник — треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом 1/2, поэтому его площадь в 4 раза меньше площади ABC
- Ключ к четырёхугольникам — середины сторон любого четырёхугольника служат вершинами параллелограмма: две его противоположные стороны — средние линии треугольников с общей диагональю; отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию трапеции, — тоже средние линии треугольников
Пример
В треугольнике ABC сторона AC = 18, M — середина AB, N — середина BC. Тогда MN ∥ AC и MN = 18 : 2 = 9. Если площадь треугольника ABC равна 48, то треугольник MBN, который отсекает средняя линия, имеет площадь 48 : 4 = 12.
Тема целиком: Геометрия: доказательство (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Средняя линия треугольника и медиана треугольника
И медиана, и средняя линия ведут к серединам сторон, но медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а средняя линия соединяет середины двух сторон и через вершину не проходит. У средней линии есть простая длина — половина параллельной ей стороны, а длину медианы по одной стороне в общем случае не найти.
Частые вопросы
Что такое средняя линия треугольника простыми словами (для 7–9 класса)?
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: если M — середина AB, а N — середина BC треугольника ABC, то MN ∥ AC и MN = ½ · AC.
Как средняя линия треугольника выглядит на практике?
В треугольнике ABC сторона AC = 18, M — середина AB, N — середина BC. Тогда MN ∥ AC и MN = 18 : 2 = 9. Если площадь треугольника ABC равна 48, то треугольник MBN, который отсекает средняя линия, имеет площадь 48 : 4 = 12.
В каких заданиях ОГЭ встречается «средняя линия треугольника»?
Этот термин встречается в заданиях №19 — потренируйся в тренажёре Совелия.