Определение
Целое уравнение — это уравнение, обе части которого — целые выражения: они составлены из чисел и переменной сложением, вычитанием, умножением, возведением в натуральную степень и делением на число, отличное от нуля. Деления на выражение с переменной в нём нет. Линейные, квадратные и биквадратные уравнения — целые.
Ключевые признаки
- Делят только на числа — дроби с числовым знаменателем, например (x − 5)/6, уравнение не меняют: оно остаётся целым, а от дробей избавляются, умножив обе части на общий знаменатель
- Стандартный вид P(x) = 0 — перенеся все члены в одну часть и приведя подобные, получают многочлен, равный нулю; старшая степень x в нём и есть степень уравнения: x³ + x² = x³ + 9 сводится к x² − 9 = 0, уравнению второй степени
- Корней не больше степени — у уравнения n-й степени не больше n корней: уравнение третьей степени x³ − 4x = 0, то есть x(x − 2)(x + 2) = 0, имеет ровно три корня: 0, 2 и −2
- Нет запретов на x — область допустимых значений составляют все числа, поэтому ни один найденный корень не отбрасывают из-за знаменателя; проверка нужна только, чтобы поймать ошибку в вычислениях
Пример
Уравнение x²/4 − x/2 = 2 целое: делят в нём только на числа 4 и 2. Умножим обе части на 4: x² − 2x = 8, то есть x² − 2x − 8 = 0 — уравнение второй степени, корней не больше двух. По теореме Виета корни 4 и −2 (сумма 2, произведение −8). Запретов нет, оба корня идут в ответ. Проверка для x = −2: (−2)²/4 − (−2)/2 = 1 + 1 = 2.
Тема целиком: Уравнения (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Целое уравнение и дробно-рациональное уравнение
В целом уравнении делят только на числа, поэтому запретов на x нет и все найденные корни годятся. В дробно-рациональном переменная стоит в знаменателе. Его сводят к целому, умножая обе части на общий знаменатель, но корни полученного целого уравнения ещё сверяют с запретами: x²/(x + 2) = 4/(x + 2) даёт целое уравнение x² = 4 с корнями 2 и −2, а −2 обращает знаменатель в ноль, поэтому ответ только 2.
Частые вопросы
Что такое целое уравнение простыми словами (для 7–9 класса)?
Целое уравнение — это уравнение, обе части которого — целые выражения: они составлены из чисел и переменной сложением, вычитанием, умножением, возведением в натуральную степень и делением на число, отличное от нуля. Деления на выражение с переменной в нём нет. Линейные, квадратные и биквадратные уравнения — целые.
Как целое уравнение выглядит на практике?
Уравнение x²/4 − x/2 = 2 целое: делят в нём только на числа 4 и 2. Умножим обе части на 4: x² − 2x = 8, то есть x² − 2x − 8 = 0 — уравнение второй степени, корней не больше двух. По теореме Виета корни 4 и −2 (сумма 2, произведение −8). Запретов нет, оба корня идут в ответ. Проверка для x = −2: (−2)²/4 − (−2)/2 = 1 + 1 = 2.
В каких заданиях ОГЭ встречается «целое уравнение»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.