Определение
Выколотая точка — это точка, вырезанная из линии графика: линия подходит к ней вплотную, но сама точка графику не принадлежит, потому что при этом x функция не определена. На рисунке её отмечают пустым кружком. Обычно она появляется, когда дробь сокращают на множитель с x: сокращённая формула совпадает с исходной везде, кроме значения x, при котором этот множитель равен нулю.
Ключевые признаки
- Где появляется — там, где обращается в нуль множитель, на который сократили дробь: y = (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 при x ≠ 1, поэтому у прямой выколота точка (1; 2)
- Ордината из сокращённой формулы — абсциссу даёт запрет x ≠ c, а ординату находят, подставив c в уже сокращённую формулу; в исходную подставлять бесполезно, там выходит 0/0
- Прямая y = m теряет одну точку — если m равно ординате выколотой точки, из общих точек выпадает только она: у наклонной прямой с выколом общих точек не остаётся, а у параболы, если выколота не вершина, остаётся одна
- Обозначение — пустой кружок; тем же знаком на координатной прямой отмечают конец, который в промежуток не входит
Пример
Функция y = (x³ − 4x)/(x − 2). Числитель раскладывается на множители x(x − 2)(x + 2), поэтому при x ≠ 2 график совпадает с параболой y = x² + 2x. Абсциссу выколотой точки даёт запрет x ≠ 2, ординату — подстановка в сокращённую формулу: 2² + 2 · 2 = 8. Прямая y = 8 пересекает параболу при x = 2 и x = −4, первая точка выколота, поэтому общая точка с графиком одна — (−4; 8).
Тема целиком: Графики функций с параметром (часть 2) — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Выколотая точка и асимптота
Выколотая точка — одна пропущенная точка: график подходит к ней вплотную с обеих сторон, и значения функции рядом с ней близки к её ординате. Асимптота — целая прямая, вдоль которой ветвь уходит в бесконечность. Отличить их помогает сокращение: выколотая точка там, где обнулился множитель, на который сократили дробь, а вертикальная асимптота там, где обнуляется знаменатель уже сокращённой дроби. У y = (x − 3)/(x² − 3x) = 1/x выколота точка (3; 1/3), а прямая x = 0 — асимптота.
Частые вопросы
Что такое выколотая точка простыми словами (для 7–9 класса)?
Выколотая точка — это точка, вырезанная из линии графика: линия подходит к ней вплотную, но сама точка графику не принадлежит, потому что при этом x функция не определена. На рисунке её отмечают пустым кружком. Обычно она появляется, когда дробь сокращают на множитель с x: сокращённая формула совпадает с исходной везде, кроме значения x, при котором этот множитель равен нулю.
Как выколотая точка выглядит на практике?
Функция y = (x³ − 4x)/(x − 2). Числитель раскладывается на множители x(x − 2)(x + 2), поэтому при x ≠ 2 график совпадает с параболой y = x² + 2x. Абсциссу выколотой точки даёт запрет x ≠ 2, ординату — подстановка в сокращённую формулу: 2² + 2 · 2 = 8. Прямая y = 8 пересекает параболу при x = 2 и x = −4, первая точка выколота, поэтому общая точка с графиком одна — (−4; 8).
В каких заданиях ОГЭ встречается «выколотая точка»?
В заданиях на знание математических понятий — потренируйся в тренажёре Совелия.