Определение
Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла. Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы его угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. У каждого треугольника три биссектрисы, и все они лежат внутри него.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Диагонали параллелограмма равны.</li><li>Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.</li><li>Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.</li><li>Площадь круга радиуса R равна πR².</li><li>Все высоты равностороннего треугольника равны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.</li><li>Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.</li><li>Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>В любой треугольник можно вписать окружность.</li><li>Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой она проведена.</li><li>Диагонали параллелограмма равны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
Ключевые признаки
- Делит угол пополам — если BK — биссектриса угла B, то ∠ABK = ∠CBK, и каждый из них равен половине угла B
- Центр вписанной окружности — три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; она одинаково удалена от всех сторон и служит центром вписанной окружности
- Сторону пополам не делит — биссектриса BK делит сторону AC на части, пропорциональные прилежащим сторонам: AK : KC = AB : BC; пополам получается, только если AB = BC
- В равнобедренном треугольнике — биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой; у двух других биссектрис этого свойства нет, если треугольник не равносторонний
Пример
В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K, AB = 5, BC = 8. Угол BKA равен углу KAD как накрест лежащий при BC ∥ AD, а угол KAD равен углу BAK по определению биссектрисы. Значит, в треугольнике ABK углы при стороне AK равны, он равнобедренный: BK = AB = 5, тогда KC = 8 − 5 = 3.
Тема целиком: Анализ геометрических высказываний — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Биссектриса и медиана
Биссектриса делит пополам УГОЛ при вершине, медиана делит пополам СТОРОНУ — соединяет вершину с её серединой, а высота перпендикулярна стороне. Все три совпадают только в равнобедренном треугольнике, если проведены к основанию. Поэтому утверждение «биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена» — неверное.
Частые вопросы
Что такое биссектриса простыми словами (для 7–9 класса)?
Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла. Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы его угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. У каждого треугольника три биссектрисы, и все они лежат внутри него.
Как биссектриса выглядит на практике?
В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K, AB = 5, BC = 8. Угол BKA равен углу KAD как накрест лежащий при BC ∥ AD, а угол KAD равен углу BAK по определению биссектрисы. Значит, в треугольнике ABK углы при стороне AK равны, он равнобедренный: BK = AB = 5, тогда KC = 8 − 5 = 3.
В каких заданиях ОГЭ встречается «биссектриса»?
Этот термин встречается в заданиях №19, №24 — потренируйся в тренажёре Совелия.