Определение
Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Сходственными называют стороны, лежащие против равных углов. Проще говоря, один треугольник — увеличенная или уменьшенная копия другого. Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия k.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.</li><li>Любые два равнобедренных треугольника подобны.</li><li>Все высоты равностороннего треугольника равны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Диагонали трапеции точкой пересечения делятся пополам.</li><li>Любые два равнобедренных треугольника подобны.</li><li>Сумма углов любого треугольника равна 180°.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>В любой ромб можно вписать окружность.</li><li>Любые два прямоугольных треугольника подобны.</li><li>Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Любые два равнобедренных треугольника подобны.</li><li>Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.</li><li>Сумма вертикальных углов равна 180°.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
Ключевые признаки
- Коэффициент подобия — k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC: все стороны меняются в одно и то же число раз, а углы остаются прежними
- Признак по двум углам — если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны; ещё два признака — по двум пропорциональным сторонам и углу между ними и по трём пропорциональным сторонам
- Периметры и площади — периметры подобных треугольников относятся как k, а площади — как k²
- Ловушка «любые» — два прямоугольных треугольника не обязательно подобны: гарантированно равен у них только прямой угол; два равнобедренных — тоже не обязательно; а вот любые два равносторонних подобны, ведь все их углы по 60°
Пример
В треугольниках ABC и KLM ∠A = ∠K и ∠B = ∠L. Два угла одного треугольника равны двум углам другого — треугольники подобны, причём вершине A соответствует K, B — L, C — M. Сходственные стороны AB и KL: если AB = 6, а KL = 9, то k = 9 : 6 = 1,5. Тогда при BC = 8 сторона LM = 8 · 1,5 = 12, а площадь KLM больше площади ABC в 1,5² = 2,25 раза.
Тема целиком: Анализ геометрических высказываний — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Подобные треугольники и равные треугольники
Равные треугольники совпадают при наложении: у них равны и углы, и стороны. У подобных обязательно равны углы, а стороны лишь пропорциональны — один может быть, например, вдвое больше другого; равные треугольники — частный случай подобных с k = 1. Для подобия хватает двух равных углов, а для равенства этого мало: нужна ещё хотя бы одна равная сходственная сторона.
Частые вопросы
Что такое подобные треугольники простыми словами (для 7–9 класса)?
Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Сходственными называют стороны, лежащие против равных углов. Проще говоря, один треугольник — увеличенная или уменьшенная копия другого. Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия k.
Как подобные треугольники выглядит на практике?
В треугольниках ABC и KLM ∠A = ∠K и ∠B = ∠L. Два угла одного треугольника равны двум углам другого — треугольники подобны, причём вершине A соответствует K, B — L, C — M. Сходственные стороны AB и KL: если AB = 6, а KL = 9, то k = 9 : 6 = 1,5. Тогда при BC = 8 сторона LM = 8 · 1,5 = 12, а площадь KLM больше площади ABC в 1,5² = 2,25 раза.
В каких заданиях ОГЭ встречается «подобные треугольники»?
Этот термин встречается в заданиях №19, №24 — потренируйся в тренажёре Совелия.