Определение
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Его можно определить и как ромб, у которого все углы прямые. Поэтому у квадрата есть все свойства прямоугольника, ромба и параллелограмма: стороны равны, углы прямые, диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
Какие из следующих утверждений верны?
- Любой квадрат является ромбом.
- Сумма вертикальных углов равна 180°.
- Касательная к окружности имеет с ней ровно две общие точки.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
- Касательная к окружности имеет с ней ровно две общие точки.
- Любой квадрат является ромбом.
- Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
- Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
- Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
- Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
- Около любого четырёхугольника можно описать окружность.
- Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
- Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Ключевые признаки
- Площадь и периметр — S = a², P = 4a, где a — сторона; через диагональ d площадь S = d²/2
- Диагональ — d = a√2; каждая диагональ делит прямые углы квадрата пополам, на углы по 45°
- Обе окружности — в квадрат можно вписать окружность радиуса a/2 и около него описать окружность радиуса a√2/2; центр у них общий — точка пересечения диагоналей
- Ромб и прямоугольник сразу — любой квадрат является и ромбом, и прямоугольником, но не всякий ромб и не всякий прямоугольник — квадрат
Пример
Диагональ квадрата равна 10. Его площадь S = 10² : 2 = 50, поэтому сторона a = √50 = 5√2; то же даёт формула d = a√2: 5√2 · √2 = 10. Периметр P = 4 · 5√2 = 20√2, а радиус описанной окружности равен половине диагонали, то есть 5.
Тема целиком: Геометрия: четырёхугольники — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Квадрат и ромб
У ромба и квадрата все стороны равны, но у квадрата ещё и все углы прямые, а у ромба они могут быть, например, 50° и 130°. Поэтому диагонали квадрата равны, а у ромба, который не квадрат, одна диагональ длиннее другой; около квадрата можно описать окружность, а около такого ромба нельзя. Утверждение «любой квадрат является ромбом» верно, а «любой ромб является квадратом» — неверно.
Частые вопросы
Что такое квадрат простыми словами (для 7–9 класса)?
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Его можно определить и как ромб, у которого все углы прямые. Поэтому у квадрата есть все свойства прямоугольника, ромба и параллелограмма: стороны равны, углы прямые, диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Как квадрат выглядит на практике?
Диагональ квадрата равна 10. Его площадь S = 10² : 2 = 50, поэтому сторона a = √50 = 5√2; то же даёт формула d = a√2: 5√2 · √2 = 10. Периметр P = 4 · 5√2 = 20√2, а радиус описанной окружности равен половине диагонали, то есть 5.
В каких заданиях ОГЭ встречается «квадрат»?
Этот термин встречается в заданиях №19 — потренируйся в тренажёре Совелия.