Определение
Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника; сам многоугольник при этом называют вписанным в окружность. Её центр одинаково удалён от всех вершин, и это расстояние — радиус R. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну, а около четырёхугольника — не всегда.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.</li><li>При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.</li><li>Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Катеты прямоугольного треугольника равны 96 и 28. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.</p>
- <p>Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.</p>
- <p>Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 16. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.</p>
Ключевые признаки
- Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам (прямых, проведённых через середины сторон под прямым углом к ним); у остроугольного треугольника центр внутри, у тупоугольного — снаружи
- Прямоугольный треугольник — центр лежит в середине гипотенузы, гипотенуза служит диаметром, поэтому R = c / 2, где c — гипотенуза
- Любой треугольник — радиус находят по следствию из теоремы синусов: R = a / (2 sin α), где α — угол, лежащий против стороны a
- Четырёхугольник — описать окружность можно тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°: ∠A + ∠C = 180°; около прямоугольника можно, а около ромба, который не квадрат, нельзя
Пример
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Гипотенуза c = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому R = 20 : 2 = 10. Проверка: от середины гипотенузы до вершины прямого угла тоже 10, ведь медиана к гипотенузе равна её половине.
Тема целиком: Геометрия: окружность и её элементы — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Описанная окружность и вписанная окружность
Описанная окружность проходит через вершины, и многоугольник лежит внутри неё; вписанная касается всех сторон и сама лежит внутри многоугольника. Центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, центр вписанной — точка пересечения биссектрис. У четырёхугольника и условия разные: описать окружность можно, если ∠A + ∠C = 180°, а вписать — если суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
Частые вопросы
Что такое описанная окружность простыми словами (для 7–9 класса)?
Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника; сам многоугольник при этом называют вписанным в окружность. Её центр одинаково удалён от всех вершин, и это расстояние — радиус R. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну, а около четырёхугольника — не всегда.
Как описанная окружность выглядит на практике?
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Гипотенуза c = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому R = 20 : 2 = 10. Проверка: от середины гипотенузы до вершины прямого угла тоже 10, ведь медиана к гипотенузе равна её половине.
В каких заданиях ОГЭ встречается «описанная окружность»?
Этот термин встречается в заданиях №16, №19 — потренируйся в тренажёре Совелия.