Определение
Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Главное свойство касательной: она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Касательная к окружности имеет с ней ровно две общие точки.</li><li>При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.</li><li>Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.</li><li>Все углы ромба равны.</li><li>Касательная к окружности имеет с ней ровно две общие точки.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>Какие из следующих утверждений верны?</p> <ol><li>Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым.</li><li>Касательная к окружности имеет с ней ровно две общие точки.</li><li>Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.</li></ol> <p>В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.</p>
- <p>К окружности с центром O проведена касательная AB, A — точка касания. Найдите радиус окружности, если AB = 63, а OB = 87.</p>
Ключевые признаки
- Одна общая точка — у касательной с окружностью ровно одна общая точка, у секущей — две, у прямой, проходящей мимо, — ни одной
- Перпендикулярна радиусу — радиус OA, проведённый в точку касания A, образует с касательной прямой угол; поэтому для любой точки B касательной верна теорема Пифагора: OB² = OA² + AB²
- Расстояние от центра — равно радиусу: d = r; если d < r, прямая секущая, если d > r, общих точек с окружностью нет
- Отрезки касательных — из точки вне окружности можно провести ровно две касательные, и их отрезки от этой точки до точек касания равны
Пример
Из точки B к окружности с центром O проведена касательная, A — точка касания, радиус OA = 8, OB = 17. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому угол OAB прямой, а OB — гипотенуза. По теореме Пифагора AB = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15.
Тема целиком: Геометрия: окружность и её элементы — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Касательная к окружности и секущая
Касательная имеет с окружностью одну общую точку и перпендикулярна радиусу в ней; секущая пересекает окружность в двух точках, и её часть внутри круга — хорда. Отличить их помогает расстояние d от центра до прямой: d = r — касательная, d < r — секущая. Утверждение «касательная имеет с окружностью две общие точки» неверно: это описание секущей.
Частые вопросы
Что такое касательная к окружности простыми словами (для 7–9 класса)?
Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Главное свойство касательной: она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу.
Как касательная к окружности выглядит на практике?
Из точки B к окружности с центром O проведена касательная, A — точка касания, радиус OA = 8, OB = 17. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому угол OAB прямой, а OB — гипотенуза. По теореме Пифагора AB = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15.
В каких заданиях ОГЭ встречается «касательная к окружности»?
Этот термин встречается в заданиях №16, №19, №24, №25 — потренируйся в тренажёре Совелия.