Что такое вписанная окружность: определение простыми словами

Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника; её центр равноудалён от сторон. Ниже — точное определение, признаки, пример и задание ОГЭ для проверки.

Определение

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника; сам многоугольник при этом называют описанным около окружности. Её центр одинаково удалён от всех сторон, и это расстояние — радиус r. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну, а в четырёхугольник — не всегда.

Попробуй решить

Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:

Какие из следующих утверждений верны?
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
3. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым.
3. Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
1. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
2. Касательная к окружности имеет с ней ровно две общие точки.
3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ключевые признаки

Центр — точка пересечения биссектрис углов треугольника; он всегда лежит внутри треугольника, даже тупоугольного
Радиус через площадь — r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр; то же самое: S = p · r
Прямоугольный треугольник — r = (a + b − c)/2, где a и b — катеты, c — гипотенуза
Четырёхугольник — вписать окружность можно тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD; в любой ромб можно, а в прямоугольник, который не квадрат, нельзя

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8, гипотенуза √(36 + 64) = 10. Площадь S = ½ · 6 · 8 = 24, полупериметр p = (6 + 8 + 10) : 2 = 12, поэтому радиус вписанной окружности r = 24 : 12 = 2. Проверка второй формулой: (6 + 8 − 10) : 2 = 2. Радиус описанной окружности того же треугольника — половина гипотенузы, 5.

Тема целиком: Геометрия: окружность и её элементы — теория, разобранные задания и тренажёр.

Не путай: Вписанная окружность и описанная окружность

Вписанная окружность касается сторон и сама лежит внутри многоугольника, а описанная проходит через вершины, и многоугольник лежит внутри неё. Центр вписанной — точка пересечения биссектрис, он равноудалён от сторон; центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, он равноудалён от вершин. У равностороннего треугольника эти центры совпадают, а у любого другого треугольника — нет.

Что такое описанная окружность — подробнее →

Проверь, понял ли: задание №19 ОГЭ с этим понятием →Проверю ответ сразу и покажу разбор. Этот же термин встречается в №25. Бесплатно, без регистрации.

Частые вопросы

Что такое вписанная окружность простыми словами (для 7–9 класса)?