Определение
Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением. У них соответственно равны все три стороны и все три угла, причём против равных сторон лежат равные углы. Проверять все шесть равенств не нужно: достаточно трёх элементов, указанных в одном из признаков равенства треугольников.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
Какие из следующих утверждений верны?
- Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Около любого четырёхугольника можно описать окружность.
- Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Какие из следующих утверждений верны?
- В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
- Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
- В параллелограмме противоположные углы равны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 45. Найдите гипотенузу.
Катеты прямоугольного треугольника равны 80 и 18. Найдите гипотенузу.
Ключевые признаки
- Три признака — по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трём сторонам
- Порядок вершин — запись △ABC = △MNP означает, что A соответствует M, B — N, C — P, поэтому AB = MN, BC = NP, AC = MP
- Площадь — у равных треугольников площади равны, но обратное неверно: прямоугольные треугольники с катетами 2 и 6 и с катетами 3 и 4 имеют одну и ту же площадь 6, а сами не равны
- Угол не между сторонами — две стороны и угол, лежащий не между ними, равенства не гарантируют, а три равных угла дают только подобие
Пример
Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая делит каждый из них пополам. В треугольниках AOC и BOD стороны OA = OB и OC = OD, а углы AOC и BOD равны как вертикальные. По первому признаку треугольники равны, причём вершине A соответствует B, а C — D. Поэтому BD = AC: если AC = 7, то и BD = 7.
Тема целиком: Анализ геометрических высказываний — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Равные треугольники и подобные треугольники
Подобные треугольники — копии друг друга в масштабе: углы у них равны, а стороны пропорциональны с коэффициентом k. Равные треугольники — частный случай подобных при k = 1, у них равны и сами стороны. Поэтому для равенства одних равных углов мало: в каждом признаке равенства есть хотя бы одна равная сторона. Утверждение «если все углы одного треугольника равны углам другого, то треугольники равны» неверно: такие треугольники только подобны.
Частые вопросы
Что такое равные треугольники простыми словами (для 7–9 класса)?
Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением. У них соответственно равны все три стороны и все три угла, причём против равных сторон лежат равные углы. Проверять все шесть равенств не нужно: достаточно трёх элементов, указанных в одном из признаков равенства треугольников.
Как равные треугольники выглядит на практике?
Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая делит каждый из них пополам. В треугольниках AOC и BOD стороны OA = OB и OC = OD, а углы AOC и BOD равны как вертикальные. По первому признаку треугольники равны, причём вершине A соответствует B, а C — D. Поэтому BD = AC: если AC = 7, то и BD = 7.