Определение
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Поэтому у него есть все свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Особое свойство прямоугольника — равенство диагоналей. Квадрат — частный случай прямоугольника.
Попробуй решить
Реши задачу этого типа прямо здесь — проверю сразу и покажу разбор:
Угол между диагоналями прямоугольника равен 132°. Найдите угол, который образует диагональ с большей стороной прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол между диагоналями прямоугольника равен 112°. Найдите угол, который образует диагональ с большей стороной прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Диагонали AC и BD прямоугольника пересекаются в точке O, AO = 6. Найдите диагональ BD.
Диагональ AC прямоугольника ABCD равна 26, O — точка пересечения диагоналей. Найдите BO.
Ключевые признаки
- Площадь и периметр — S = a · b, P = 2(a + b), где a и b — соседние стороны
- Равные диагонали — d = √(a² + b²); верно и обратное: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник
- Четыре равнобедренных треугольника — точка пересечения диагоналей удалена от всех вершин на половину диагонали, поэтому диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника
- Окружности — около любого прямоугольника можно описать окружность: её центр — точка пересечения диагоналей, а диагональ — диаметр; вписать окружность можно, только если прямоугольник — квадрат
Пример
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, угол AOB равен 50°, AB — меньшая сторона. OA = OB как половины равных диагоналей, поэтому в треугольнике AOB углы при стороне AB равны (180° − 50°) : 2 = 65°. Значит, диагональ образует с меньшей стороной угол 65°, а с большей — 90° − 65° = 25°.
Тема целиком: Геометрия: четырёхугольники — теория, разобранные задания и тренажёр.
Не путай: Прямоугольник и параллелограмм
Прямоугольник — частный случай параллелограмма: все его углы прямые, а диагонали равны. У произвольного параллелограмма углы бывают острые и тупые, диагонали разной длины, а площадь равна стороне, умноженной на высоту к ней: S = a · h. У прямоугольника высота совпадает с соседней стороной, поэтому S = a · b, но переносить эту формулу на любой параллелограмм нельзя: произведение соседних сторон — не его площадь.
Частые вопросы
Что такое прямоугольник простыми словами (для 7–9 класса)?
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Поэтому у него есть все свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Особое свойство прямоугольника — равенство диагоналей. Квадрат — частный случай прямоугольника.
Как прямоугольник выглядит на практике?
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, угол AOB равен 50°, AB — меньшая сторона. OA = OB как половины равных диагоналей, поэтому в треугольнике AOB углы при стороне AB равны (180° − 50°) : 2 = 65°. Значит, диагональ образует с меньшей стороной угол 65°, а с большей — 90° − 65° = 25°.